(2013?廈門一模)如圖所示,MN為兩平行金屬板,O、O為兩金屬板中心處正對的兩個(gè)小孔,N板的右側(cè)空間有磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B且方向相反的兩勻強(qiáng)磁場區(qū),圖中N板與虛線CD、PQ為兩磁場邊界線,三條界線平行,兩磁場區(qū)域的寬度分別為d和3d,沿邊界線方向磁場區(qū)域足夠大.在兩金屬板上加上大小可調(diào)節(jié)的直流電壓,質(zhì)量為m、電量為-q的帶電粒子(重力不計(jì));從O點(diǎn)由靜止釋放,經(jīng)過MN板間的電場加速后,從O'沿垂直于磁場方向射入磁場,若粒子能穿過CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場但不能穿過PQ界,最終打到N板而結(jié)束運(yùn)動,試求:
(1)粒子要能穿過CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場,MN板間的電壓至少要大于多少;
(2)粒子不穿過PQ界,粒子從O射入磁場所允許的最大速率;
(3)最大速率射入磁場的粒子在磁場中運(yùn)動的總時(shí)間.
分析:先由動能定理求出加速場中加速后獲得的速度的表達(dá)式;由幾何關(guān)系確定半徑然后由根據(jù)牛頓第二定律列方程;
先畫出粒子在右邊磁場的運(yùn)動軌跡,相切時(shí)為臨界情況,由幾何關(guān)系確定半徑,然后求得速度v;
確定出粒子偏轉(zhuǎn)的圓心角,然后根據(jù)周期公式求運(yùn)動時(shí)間.
解答:解:(1)設(shè)MN間電壓為U0時(shí),若粒子在CD左側(cè)磁場中運(yùn)動的圓弧與CD界相切,如圖甲,
粒子經(jīng)電場加速:qU0=
1
2
mv02
在磁場中運(yùn)動的圓周半徑:r0=d
qBv0=m
v02
r0

由上述得:U0=
qB2d2
2m

粒子要穿過C界,電壓應(yīng)大于:
qB2d2
2m

(2)設(shè)粒子射入磁場速度為v時(shí),粒子在CD左側(cè)軌跡圓心為O1,右側(cè)軌跡圓心為O2且圓弧與PQ相切,恰好不射出PQ界,
如圖乙,
有:左右兩圓周半徑相同,均為r=2d
qBv=
mv2
r

得:v=
2qBd
m

(3)由圖得圓弧圓心角為θ=
π
6
,α=
3

粒子圓周運(yùn)動周期:T=
2πr
v
=
2πm
qB

粒子經(jīng)過三段圓弧運(yùn)動時(shí)間分別為:
t1=t3=
θ
T
t2=
α
T
在磁場中運(yùn)動總時(shí)間:t=t1+t2+t3=
5πm
3qB

答:(1)粒子要能穿過CD界并進(jìn)入CD右側(cè)磁場,MN板間的電壓至少要大于:
qB2d2
2m

(2)粒子不穿過PQ界,粒子從O射入磁場所允許的最大速率為
2qBd
m

(3)最大速率射入磁場的粒子在磁場中運(yùn)動的總時(shí)間為
5πm
3qB
點(diǎn)評:本題考查了帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動,關(guān)鍵是能畫出臨界情況的運(yùn)動軌跡.
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