Question

13．如圖所示，一小物體放在小車上，它們一起在水平放置的箱子中運(yùn)動(dòng)，小車長(zhǎng)為L(zhǎng)，小車質(zhì)量為M，小物體質(zhì)量為m=$\frac{M}{2}$，小物體與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，小車與箱底之間無(wú)摩擦，箱子固定于水平地面上，小車與箱子兩壁碰后，速度反向，速率不變，開(kāi)始時(shí)小車靠在箱子的左壁，小物體位于小車的最左端，小車與小物體以共同速度v₀向右運(yùn)動(dòng)，已知箱子足夠長(zhǎng)，試求：
（1）小物體不從小車上掉落下的條件；
（2）若上述條件滿足，求小車與箱壁第n+1次碰撞前系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
（3）小物體相對(duì)于小車滑過(guò)的總路程；
（4）若m=2M，則小物體不從小車上掉落下的條件．

Answer 1

分析 （1）第一次碰撞后，小物體與小車的相對(duì)速度最大，若第一碰撞后小物體不從小車上掉落，則以后就不會(huì)掉落．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律結(jié)合解答．
（2）運(yùn)用歸納法得到第1次、第2次…第n次碰撞后小物體與小車的共同速度，再由能量守恒定律求小車與箱壁第n+1次碰撞前系統(tǒng)損失的機(jī)械能；
（3）經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次碰撞后，小物體和小車最終將停在箱子左壁處，根據(jù)功能關(guān)系求小物體相對(duì)于小車滑過(guò)的總路程；
（4）若m=2M，小物體和小車最終將停在箱子右壁處，再由功能關(guān)系求小物體不從小車上掉落下的條件．

解答 解：（1）小物體一箱壁第1次碰撞到小物體與小車有共同速度v₁．取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得：
   Mv₀-mv₀=（M+m）v₁ ①
   μmgx₁=$\frac{1}{2}$（M+m）v₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁² ②
將m=$\frac{M}{2}$，代入解得：
  v₁=$\frac{M-m}{M+m}$v₀=$\frac{1}{3}$v₀
第一次碰后，小物體相對(duì)小車向右滑行的距離 x₁=$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$
同理，第二次碰后，小物體相對(duì)小車向左滑行的距離 x₂=$\frac{4{v}_{1}^{2}}{3μg}$=$\frac{1}{9}•$$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$＜x₁
所以第一次碰撞后小物體不落下，以后都不會(huì)掉落下，即小物體不掉落下小車的條件是：x₁≤L
解得：L≥$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$．
（2）與①式同理可得，第二次碰后小物體與小車有共同速度 v₂=$\frac{M-m}{M+m}$v₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$v₀
  …
第n次碰后小物體與小車有共同速度 v_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$v₀
…
所以，小車與箱壁第n+1次碰撞前系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{n}^{2}$=$\frac{3}{4}$Mv₀²（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$）
（3）當(dāng)經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次碰撞后，小物體和小車最終將停在箱子左壁處，根據(jù)功能關(guān)系得
  μmgs=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$
解得，小物體相對(duì)于小車滑過(guò)的總路程 s=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（4）若m=2M，每一次碰后小物體均向右滑行一段距離，經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次碰撞后，小車最終將停在箱子右壁處，再由功能關(guān)系得
  μmgs=$\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}$
將m=2M，代入解得 s=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4μg}$
小物體不掉落的條件為：L≥s
即得 L≥$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4μg}$
答：
（1）小物體不從小車上掉落下的條件是L≥$\frac{4{v}_{0}^{2}}{3μg}$；
（2）若上述條件滿足，小車與箱壁第n+1次碰撞前系統(tǒng)損失的機(jī)械能是$\frac{3}{4}$Mv₀²（1-$\frac{1}{{9}^{n}}$）；
（3）小物體相對(duì)于小車滑過(guò)的總路程是$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（4）若m=2M，則小物體不從小車上掉落下的條件是 L≥$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4μg}$．

點(diǎn)評(píng) 正確應(yīng)用動(dòng)量守恒和功能關(guān)系列方程是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，尤其是弄清相互作用過(guò)程中的功能關(guān)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法總結(jié)出碰后共同速度的規(guī)律．