Question

6．如圖所示，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內．小球A、B質量分別為m、3m．A球從左邊某高處由靜止釋放，并與靜止于軌道最低點的B球相撞，碰撞后A球被反向彈回，且A、B球能達到的最大高度均為$\frac{1}{4}$R．重力加速度為g．問：
（1）碰撞剛結束時B球對軌道的壓力大小；
（2）若碰撞過程中A、B球組成的系統(tǒng)無機械能損失，求A球剛釋放時離B球的高度？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒定律求出小球碰撞后的速度大小，結合牛頓第二定律求出碰撞后的瞬間對B的支持力，從而得出B球對軌道的壓力．
（2）根據(jù)動量守恒定律求出A球碰撞前的速度，結合機械能守恒定律求出A球剛釋放時離B球的高度．

解答 解：（1）根據(jù)機械能守恒定律得，$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mg•\frac{1}{4}R$，
解得${v}_{1}=\sqrt{\frac{gR}{2}}$．
對B，根據(jù)牛頓第二定律得，$N-3mg=3m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$，
解得N=$\frac{7mg}{2}$．
根據(jù)牛頓第三定律知，碰撞剛結束時B球對軌道的壓力大小為$\frac{7}{2}mg$．
（2）規(guī)定向右為正方向，在最低點，根據(jù)動量守恒定律得，
3mv₁-mv₁=mv，
解得v=$2{v}_{1}=\sqrt{2gR}$，
根據(jù)機械能守恒定律得，$mgH=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
A球剛釋放時離B球的高度H=$\frac{{v}^{2}}{2g}=R$．
答：（1）碰撞剛結束時B球對軌道的壓力大小為$\frac{7}{2}mg$．
（2）A球剛釋放時離B球的高度為R．

點評 本題考查了機械能守恒定律、牛頓第二定律和動量守恒定律的綜合運用，知道最低點向心力的來源，碰撞前后瞬間A、B兩球動量守恒．