Question

17．一輛質(zhì)量為m的車，發(fā)動機的額定功率為P_m．已知該車沿傾角為30°的足夠長斜面下坡時，若關(guān)閉發(fā)動機，它立刻以大小為$\frac{g}{2}$的加速度做勻減速運動．現(xiàn)開啟發(fā)動機，讓該車在大小為$\frac{3}{2}$mg的恒定牽引力作用下由靜止開始勻加速下坡，設(shè)阻力不變，求：
（1）下坡過程中車所能達到的最大車速；
（2）該車勻加速下坡能持續(xù)的時間．

Answer 1

分析 （1）關(guān)閉發(fā)動機后物體做減速運動，根據(jù)牛頓第二定律求得摩擦力，開啟發(fā)動機后，當牽引力等于阻力時，速度達到最大；
（2）根據(jù)P=Fv求得勻加速達到的最大速度，根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，利用速度時間公式求得加速時間

解答 解：（1）車下坡時，若關(guān)閉發(fā)動機，車受重力mg、支持力 N、阻力f的作用，如圖所示：
設(shè)車的加速度大小為a₁，由牛頓第二定律得：
f-mgsin30°=ma₁                  ①
f=ma₁+mgsin30°，代入a₁=$\frac{g}{2}$，得：
f=mg                           ②
當車勻加速下坡時，由P=Fv，得v=$\frac{P}{F}$，當P達到額定功率P_m、同時牽引力最小時，車達到最高車速v_m．設(shè)最小牽引力為F₁
F₁+mgsin30°=f                    ③
F₁=f-mgsin30°=mg-mgsin30°=m$\frac{g}{2}$
故v_m=$\frac{{P}_{m}}{{F}_{1}}$=$\frac{2{P}_{m}}{mg}$
（2）當車勻加速下坡時，車受牽引力F、重力mg、支持力N、阻力f的作用，如圖所示：
由P=Fv，車勻加速下坡時，牽引力F=3mg/2不變，P隨車速v加快而增大，直到達到額定功率P_m，此時車速為v₁
v₁=$\frac{{P}_{m}}{F}$=$\frac{2{P}_{m}}{3mg}$             ⑤
設(shè)車勻加速下坡的加速度大小為a₂
v₁=a₂t                           ⑥
F+mgsin30°-f=ma₂⑦
聯(lián)列②⑦，代入F=$\frac{3}{2}$mg得a₂=g   ⑧
聯(lián)列⑤⑥⑧可得車勻加速下坡能持續(xù)的時間
t=$\frac{2{P}_{m}}{3m{g}^{2}}$
答：（1）下坡過程中車所能達到的最大車速為$\frac{2{P}_{m}}{mg}$；
（2）該車勻加速下坡能持續(xù)的時間$\frac{2{P}_{m}}{3m{g}^{2}}$

點評 該題結(jié)合機車的啟動模型，綜合考查了牛頓第二定律以及速度的關(guān)系等，抓住汽車在斜面上，此時重力沿斜面向下有分力即可．