Question

如圖所示，某同學(xué)仿照“過山車”軌道為一個(gè)質(zhì)量m=0.1kg小滑塊設(shè)計(jì)了軌道．AB為一較長(zhǎng)的斜面軌道，與小滑塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.2，其它軌道光滑．AB軌道與水平軌道BC成θ=45°，且與BC平滑連接（不計(jì)通過B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能損失）．小滑塊從AB軌道高H=1m處由靜止滑下，滑入軌道BC，后從C點(diǎn)進(jìn)入半徑R=0.2m 圓形軌道內(nèi)側(cè)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周后從C點(diǎn)滑出，再沿水平軌道CE繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，最后從E點(diǎn)飛出，落入水平軌道下方h=0.2m的淺槽FG中，淺槽的高度不計(jì)，長(zhǎng)度L=1.0m． g取10m/s²，小滑塊在運(yùn)動(dòng)過程中可視為質(zhì)點(diǎn)．

（1）小滑塊到達(dá)斜面底端B時(shí)速度大小
（2）小滑塊到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小
（3）若要小滑塊按設(shè)計(jì)要求完成全部運(yùn)動(dòng)，該同學(xué)無初速釋放小滑塊的初始高度應(yīng)
滿足怎樣的條件？

Answer 1

分析：（1）小球從A到B的過程中，運(yùn)用動(dòng)能定理可得mgH-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvB2，可計(jì)算出小滑塊到達(dá)斜面底端B時(shí)速度大小V_B．
（2）小球到D時(shí)，從釋放點(diǎn)到D點(diǎn)由動(dòng)能定理可得：mg(H-2R)-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvD2．
在最高點(diǎn)，軌道對(duì)球向下的支持力為N，有N+mg=

mvD2

R

．聯(lián)立二式可解得N．再由牛頓第三定律知，滑塊經(jīng)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為N′=N．
（3）小球恰可以到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的高度為H₁，由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，最高點(diǎn)時(shí)的速度vD2=

gR

．根據(jù)動(dòng)能定理mg(H1-2R)-μmgcosθ×

H1

sinθ

=

1

2

mvD22．可解得最小高度H₁．小球恰可以到達(dá)槽右端，對(duì)應(yīng)的高度為H₂，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)t=

2h g

，所以vE=

L

t

．小球從A到E的過程中，由動(dòng)能定理：mgH2-μmgcosθ×

H2

sinθ

=

1

2

mvE2，可解得最大高度H₂．釋放小球的高度范圍為：H₁≤H≤H₂．

解答：解：（1）小球從A到B的過程中，由動(dòng)能定理可得
mgH-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvB2
得  V_B=4m/s 
（2）小球到D時(shí)，從釋放點(diǎn)到D點(diǎn)由動(dòng)能定理可得：
mg(H-2R)-μmgcosθ×

H

sinθ

=

1

2

mvD2
在最高點(diǎn)，軌道對(duì)球向下的支持力為N，有
N+mg=

mvD2

R

得  N=3N 
由牛頓第三定律知，滑塊經(jīng)D點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為N′=3N
（3）設(shè)小球恰可以到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的高度為H₁，
由圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知，最高點(diǎn)時(shí)的速度v_D2
vD2=

gR

mg(H1-2R)-μmgcosθ×

H1

sinθ

=

1

2

mvD22
得H₁=0.625m
設(shè)小球恰可以到達(dá)槽右端，對(duì)應(yīng)的高度為H₂
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">t=

2h g

所以vE=

L

t

=

L

2h g

小球從A到E的過程中，由動(dòng)能定理：
mgH2-μmgcosθ×

H2

sinθ

=

1

2

mvE2
得：H2=

25

16

m=1.5625m
故釋放小球的高度范圍為：
0.625m≤H≤1.5625m．
答：（1）小滑塊到達(dá)斜面底端B時(shí)速度大小為4m/s．
（2）小滑塊到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為3N．
（3）若要小滑塊按設(shè)計(jì)要求完成全部運(yùn)動(dòng)，該同學(xué)無初速釋放小滑塊的初始高度H范圍為：0.625m≤H≤1.5625m．

點(diǎn)評(píng)：選取研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．