Question

（12分）我國北方地區(qū)近年來遭遇嚴(yán)重的沙塵暴天氣，現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡化為如下情景：v為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)），這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度 v豎直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的阻力。此阻力可用下式表達(dá)其中為一系數(shù)，A為沙塵顆粒的截面積，為空氣密度。（球體體積）
（1）若沙粒的密度，沙塵顆粒為球形，半徑為r，地球表面處空氣密度，試估算在地面附近上述v的最小值。
（2）假定空氣密度隨高度h的變化關(guān)系為其中為h處的空氣密度，C為一常量，試估算當(dāng)、揚(yáng)沙穩(wěn)定時(shí)的最大高度。（不考慮g隨高度的變化）

Answer 1

（1）
（2）

（1）沙粒懸浮在空中，所受阻力與重力平衡，即：
   ………………①
   ………………②
   ………………③
   ………………④
（2）由于高度增加，空氣密度減小，故當(dāng)速度為時(shí)，隨著沙粒的上升，沙粒所受阻力減小，當(dāng)沙粒所受阻力與重力平衡時(shí)，沙粒懸浮在空中不再上升，此時(shí)揚(yáng)沙高度最大：


   ………………⑤
   ………………⑥
評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：①⑤式各3分，②③式各2分，④⑥式各1分。