Question

（2011?安徽二模）如圖（a）所示，兩個(gè)平行的金屬板間接有圖（b）所示的交變電壓，板長(zhǎng)為L(zhǎng)=0.4m，板間距d=0.2m．在金屬板的右側(cè)即磁場(chǎng)的理想左邊界，磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5×10^-3T，方向垂直紙面向里，現(xiàn)有一帶電粒子（不計(jì)重力）以v₀=10⁵m/s速度沿著極板中線從左端射人極板間．已知粒子的荷質(zhì)比為q/m=10⁸ C/kg，粒子通過電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)，可以認(rèn)為電場(chǎng)是恒定的．
（1）若粒子在t=0時(shí)刻射入，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的射人點(diǎn)到出射點(diǎn)間的距離；
（2）證明任意時(shí)刻射人電場(chǎng)的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的射人點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離都相等；
（3）求粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在t=0時(shí)刻進(jìn)入，電場(chǎng)強(qiáng)度為零，粒子將以v₀的速度垂直磁場(chǎng)左邊界射入磁場(chǎng)中．由牛頓定律和幾何關(guān)系求解．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓定律和幾何關(guān)系證明射人點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離恒定．
（3）當(dāng)粒子從極板邊緣離開電場(chǎng)時(shí)，側(cè)移量最大，電場(chǎng)力做功最多，粒子的速度最大．根據(jù)側(cè)移量，由牛頓定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出此時(shí)電壓，由動(dòng)能定理求出最大速度．

解答：解：（1）帶電粒子在t=0時(shí)刻進(jìn)入，由題可知，粒子通過電場(chǎng)區(qū)域時(shí)間極短，因此粒子從進(jìn)入電場(chǎng)到離開電場(chǎng)，板間電場(chǎng)強(qiáng)度始終為零，則粒子將以v₀的速度垂直磁場(chǎng)左邊界射入磁場(chǎng)中．
    由牛頓第二定律，得
      qv₀B=m

v 2 0

r

     得r=

mv0

qB

=0.2m
故粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的射人點(diǎn)到出射點(diǎn)間的距離S=2r=0.4m．
（2）設(shè)某時(shí)刻進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子速度為v，方向與水平方向成θ角，如右圖
     則v=

v0

cosθ

   粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡半徑為
      r′=

mv

qB

=

mv0

qBcosθ

   粒子射人點(diǎn)到出射點(diǎn)間的距離S′=2r′cosθ=2

mv0

qB

      由（1）知S′=2r=0.4m
   故任意時(shí)刻射人電場(chǎng)的粒子，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的射人點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離都相等．
（3）設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)刻，板間的電壓為U，且粒子可以射出電場(chǎng)進(jìn)入磁場(chǎng)．則
         y=

qU

2md

t2，t=

L

v0

   當(dāng)側(cè)移量y=

d

2

時(shí)，電場(chǎng)力對(duì)粒子做功最多，
       得到U=

md2 v 2 0

qL2

       代入解得U=25V
  由動(dòng)能定理得
    q

U

2

=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

   解得  v_m=

5

2

×105m/s
答：（1）粒子在t=0時(shí)刻射入，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的射人點(diǎn)到出射點(diǎn)間的距離為0.4m；
    （2）略
    （3）粒子射出電場(chǎng)時(shí)的最大速度為

5

2

×105m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，綜合考查了牛頓定律、動(dòng)能定理、受力分析等方面的知識(shí)和規(guī)律．對(duì)考生的分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力要求較高．