Question

4．如圖，質(zhì)量m=1kg的物體以v₀=4m/s的初速度從水平面的某點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)并沖上半徑R=0.1m的豎直光滑半圓環(huán)．物體與水平面間有摩擦，g=10m/s²．

（1）物體能從M點(diǎn)飛出，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離的最小值為多大？
（2）在第（1）問的情形下，小球通過N點(diǎn)時(shí)對圓軌道的壓力多大？
（3）設(shè)出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為x，物體從M點(diǎn)飛出后，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為y，作出y²隨x變化的關(guān)系如圖．求物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（4）要使物體從某點(diǎn)出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)在N到M點(diǎn)的中間離開半圓軌道，求出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求得在M點(diǎn)的速度范圍，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得水平位移，即可得到最小值；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求得在N點(diǎn)的速度，然后由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理得到M點(diǎn)速度和x的關(guān)系，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到y(tǒng)和M點(diǎn)速度的關(guān)系，即可得到y(tǒng)和x的關(guān)系，結(jié)合圖象求解；
（4）根據(jù)物體不脫離軌道得到運(yùn)動(dòng)過程，然后由動(dòng)能定理求解．

解答 解：（1）物體能從M點(diǎn)飛出，那么對物體在M點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：$mg≤\frac{m{{v}_{M}}^{2}}{R}$，所以，${v}_{M}≥\sqrt{gR}=1m/s$；
物體能從M點(diǎn)飛出做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離$x={v}_{M}t≥\sqrt{gR}•2\sqrt{\frac{R}{g}}=2R=0.2m$；
故落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離的最小值為0.2m；
（2）在第（1）問的情形下，v_M=1m/s，物體從N到M只有重力做功，機(jī)械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{N}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$；
對小球在N點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律可得：小球受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{N}}^{2}}{R}=6mg=60N$；
故由牛頓第三定律可得：小球通過N點(diǎn)時(shí)對圓軌道的壓力為60N；
（3）物體從出發(fā)點(diǎn)到M的運(yùn)動(dòng)過程作用摩擦力、重力做功，故由動(dòng)能定理可得：$-μmgx-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
物體從M點(diǎn)落回水平面做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，$y={v}_{M}t=\sqrt{{{v}_{M}}^{2}•\frac{4R}{g}}$=$\sqrt{{{（v}_{0}}^{2}-2μgx-4gR）•\frac{4R}{g}}$=$\sqrt{0.48-0.8μx}$；
由圖可得：y²=0.48-0.16x，所以，$μ=\frac{0.16}{0.8}=0.2$；
（4）要使物體從某點(diǎn)出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)在N到M點(diǎn)的中間離開半圓軌道，那么物體能到達(dá)的最大高度0＜h≤R或物體能通過M點(diǎn)；
物體能到達(dá)的最大高度0＜h≤R時(shí)，由動(dòng)能定理可得：$-μmgx-mgh=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，所以，$x=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-mgh}{μmg}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2μg}-\frac{h}{μ}$，所以，3.5m≤x＜4m；
物體能通過M點(diǎn)時(shí)，由（1）可知${v}_{M}≥\sqrt{gR}=1m/s$，由動(dòng)能定理可得：$-μmgx-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，$x=\frac{\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{M}}^{2}-2mgR}{μmg}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{M}}^{2}-4gR}{2μg}$，所以，0≤x≤2.75m；
故：要使物體從某點(diǎn)出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)在N到M點(diǎn)的中間離開半圓軌道，出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離x的取值范圍為0≤x≤2.75m或3.5m≤x＜4m；
答：（1）物體能從M點(diǎn)飛出，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離的最小值為0.2m；
（2）在第（1）問的情形下，小球通過N點(diǎn)時(shí)對圓軌道的壓力為60N；
（3）設(shè)出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為x，物體從M點(diǎn)飛出后，落到水平面時(shí)落點(diǎn)到N點(diǎn)的距離為y，作出y²隨x變化的關(guān)系如圖．那么物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.2；
（4）要使物體從某點(diǎn)出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)過程中不會(huì)在N到M點(diǎn)的中間離開半圓軌道，出發(fā)點(diǎn)到N點(diǎn)的距離x的取值范圍為0≤x≤2.75m或3.5m≤x＜4m．

點(diǎn)評 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．