Question

17．甘蔗榨汁機原理如圖所示，在板上放好甘蔗，用輪子和板之間的壓力把甘蔗汁壓出來，再沿著金屬板上的凹槽流入容器，為了榨出更多的汁，每根甘蔗都要榨二遍．設有一節(jié)甘蔗長為1m，重2kg，每次都無初速的放到金屬板上，剛碰到輪子，工作時，輪子與甘蔗產生恒定的壓力．已知輪子與甘蔗間的動摩擦因數為0.5，甘蔗與光滑金屬板間無摩擦．輪子的半徑為0.1m，由電動機帶動轉動，其角速度恒為5rad/s．g取10m/s²．求：
（1）榨完一節(jié)甘蔗需要多少時間？
（2）如果設電動機的效率是100%，那么榨10節(jié)這樣的甘蔗電動機要消耗多少電能？
（3）要使壓榨每節(jié)甘蔗的時間為最短，輪子的角速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）甘蔗先加速運動后勻速運動，根據牛頓第二定律求出加速運動的加速度，再由位移公式求時間．
（2）由位移關系求得相對位移，從而求得摩擦生熱，由能量守恒定律求電動機消耗的電能．
（3）要使壓榨每節(jié)甘蔗的時間為最短應一直做加速運動，由運動學公式求解．

解答 解：（1）輪子的線速度為：v=ωr=5×0.1=0.5m/s
甘蔗先加速運動后勻速運動，加速時加速度為：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=5m/s²．
加速時間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{0.5}{5}$=0.1s                                                       
位移為：x₁=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×5×0．{1}^{2}$=0.25m
勻速運動位移為：x₂=x-x₁=1m-0.25m=0.75m
時間為：t₂=$\frac{{x}_{2}}{v}$=$\frac{0.75}{0.5}$=1.5s                                                     
總時間為：t=2（t₁+t₂）=3.2s                                              
（2）輪子與甘蔗的相對位移為：△x=x₁=0.25m
發(fā)熱為：Q=μmg△x=0.5×2×10×0.25J=2.5J                           
動能增加為：E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×0．{5}^{2}$=0.25J                                
消耗電能為：E=Q+E_K=2.75J   所以消耗的總電能是20E=55J      
（3）要使壓榨每節(jié)甘蔗的時間為最短應一直做加速運動，滾輪的線速度為：
v_t=$\sqrt{2ax}$=$\sqrt{2×5×1}$=$\sqrt{10}$m/s                       
滾輪角速度至少為：ω=$\frac{{v}_{t}}{r}$=10$\sqrt{10}$rad/s
答：（1）榨完一節(jié)甘蔗需要3.2s時間．
（2）如果設電動機的效率是100%，那么榨10節(jié)這樣的甘蔗電動機要消耗55J電能．
（3）要使壓榨每節(jié)甘蔗的時間為最短，輪子的角速度至少為10$\sqrt{10}$rad/s．

點評 本題與物體放在傳送帶運動類型相似，關鍵要正確分析甘蔗的運動情況，判斷能量的轉化情況．