Question

【題目】圖甲是某游樂場(chǎng)的一種“雙環(huán)過山車”設(shè)施的一部分，其運(yùn)行原理可以簡(jiǎn)化成圖乙的“小球軌道”模型。其中AB段和圓軌道不計(jì)阻力，BC、CD、DE、EF段平直軌道與小球的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.2，DE段的傾角α=53°，B、C為兩豎直圓軌道1、2的最低點(diǎn)，LBC=LCD=6m，LDE=1m，LEF=10m，半徑R1=2m。質(zhì)量為m=1kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的右側(cè)A點(diǎn)由靜止開始下滑，設(shè)小球不脫離所有軌道，且不考慮D、E點(diǎn)的能量損失，（已知cos37°=0.8，重力加速度取g=10m/s2）試求：

（1）如果小球恰能通過第一個(gè)圓軌道，A點(diǎn)的高度h應(yīng)是多少；

（2）要使小球不脫離第二個(gè)圓軌道，半徑R2應(yīng)滿足的條件；

（3）要使小球最終停在EF段，A點(diǎn)的高度h應(yīng)該設(shè)計(jì)為多少。

Answer 1

【答案】（1）5m；（2）R2≤1.52m或R2≥3.8m；（3）5m≤h≤5.32m

【解析】

（1）小球恰好能過豎直圓軌道，則在最高點(diǎn)滿足

小球從A點(diǎn)到最高點(diǎn)根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

聯(lián)立解得h=5m

（2）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I.軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第二個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v2，應(yīng)滿足

同時(shí)滿足，小球能通過第一軌道，根據(jù)動(dòng)能定理有

或者

聯(lián)立解得R2=1.52m

II.軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R2，根據(jù)動(dòng)能定理

或者

聯(lián)立解得R2=3.8m

故R2≤1.52m或R2≥3.8m

（3）如果小球停止在E點(diǎn)，從出發(fā)到E點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得

解得h=3.32m<5m

說明小球剛好到E點(diǎn)就過不了豎直圓軌道，如果小球停止在F點(diǎn)，從出發(fā)到F點(diǎn)根據(jù)動(dòng)能定理得:

解得h=5.32m

綜上可得5m≤h≤5.32m