Question

（20分）同步加速器在粒子物理研究中有重要的應(yīng)用，其基本原理簡(jiǎn)化為如圖所示的模型。M、N為兩塊中心開(kāi)有小孔的平行金屬板。質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子A（不計(jì)重力）從M板小孔飄入板間，初速度可視為零，每當(dāng)A進(jìn)入板間，兩板的電勢(shì)差變?yōu)閁，粒子得到加速，當(dāng)A離開(kāi)N板時(shí)，兩板的電荷量均立即變?yōu)榱�。兩板外部存在垂直紙面向里的勻�?qiáng)磁場(chǎng)，A在磁場(chǎng)作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，R遠(yuǎn)大于板間距離，A經(jīng)電場(chǎng)多次加速，動(dòng)能不斷增大，為使R保持不變，磁場(chǎng)必須相應(yīng)地變化。不計(jì)粒子加速時(shí)間及其做圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁輻射，不考慮磁場(chǎng)變化對(duì)粒子速度的影響及相對(duì)論效應(yīng)。求

（1）A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小；
（2）在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率；
（3）若有一個(gè)質(zhì)量也為m、電荷量為+kq（k為大于1的整數(shù)）的粒子B（不計(jì)重力）與A同時(shí)從M板小孔飄入板間，A、B初速度均可視為零，不計(jì)兩者間的相互作用，除此之外，其他條件均不變，下圖中虛線(xiàn)、實(shí)線(xiàn)分別表示A、B的運(yùn)動(dòng)軌跡。在B的軌跡半徑遠(yuǎn)大于板間距離的前提下，請(qǐng)指出哪個(gè)圖能定性地反映A、B的運(yùn)動(dòng)軌跡，并經(jīng)推導(dǎo)說(shuō)明理由。

Answer 1

（1）；（2）；（3）A圖能定性地反映A、B運(yùn)動(dòng)的軌跡；

試題分析：（1）設(shè)A經(jīng)電場(chǎng)第1次加速后速度為v₁，由動(dòng)能定理得
         ①
A在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受洛倫茲力充當(dāng)向心力
       ②
聯(lián)立解得：          ③
（2）設(shè)A經(jīng)n次加速后的速度為v_n，由動(dòng)能定理得
            ④
設(shè)A做第n次圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)_n，有
              ⑤
設(shè)在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功為W_n，則
     ⑥
在該段時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率為
        ⑦
聯(lián)立解得：          ⑧
（3）A圖能定性地反映A、B運(yùn)動(dòng)的軌跡。
A經(jīng)地n加速后，設(shè)其對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B_n，A、B的周期分別為、，綜合②⑤式并分別應(yīng)用A、B的數(shù)據(jù)得


由上可知，是的k倍，所以A每繞得1周，B就繞行k周。由于電場(chǎng)只在A通過(guò)時(shí)存在，故B僅在與A同時(shí)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)才被加速。
經(jīng)n次加速后，A、B的速度分別為、，結(jié)合④式有


由題設(shè)條件并結(jié)合⑤式，對(duì)A有

設(shè)B的軌跡半徑為，有

比較以上兩式得

上式表明，運(yùn)動(dòng)過(guò)程B的軌跡半徑始終不變。
由以上分析可知，兩粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖A所示。