Question

3．如圖所示，MN、PQ為傾斜放置的足夠長的平行光滑導軌，導軌間距為L，傾角為θ，底端連接的電阻阻值為R，MN與PQ單位長度電阻為r₀，整個裝置處在磁感應強度為B，方向垂直導軌平面向上的勻強磁場中．金屬棒ab垂直于導軌放置，t=0時金屬棒處于導軌底部．金屬棒質量為m，不計金屬棒電阻．在金屬棒中間系一細線，細線通過光滑定滑輪豎直向下施加作用力F，使其從靜止開始以加速度a沿導軌向上做勻加速直線運動，重力加速度為g，金屬棒與導軌始終接觸良好．
（1）從金屬棒開始運動時計時，求金屬棒上電流大小隨時間t變化的表達式；
（2）在金屬棒沿導軌向上運動的過程中，求拉力F的最大值表達式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)位移時間關系求解t時間位移大小，根據(jù)速度時間關系求解速度，根據(jù)法拉第電磁感應定律和閉合電路的歐姆定律求解感應電流大��；
（2）根據(jù)牛頓第二定律結合安培力答計算公式求解拉力F答表達式，再根據(jù)數(shù)學知識求解最大值．

解答 解：（1）設經過時間t位移為x，則有：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
此時回路中答總電阻為：R_總=R+2xr₀=R+at²r₀，
此時金屬棒答切割速度為：v=at，
根據(jù)法拉第電磁感應定律可得感應電動勢為：E=BLv=BLat，
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得感應電流為：I=$\frac{E}{{R}_{總}}$=$\frac{BLat}{R+a{t}^{2}{r}_{0}}$；
（2）根據(jù)牛頓第二定律可得：F-mgsinθ-BIL=ma，
所以F=mgsinθ+BIL+ma=mgsinθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+a{t}^{2}{r}_{0}}$+ma，
其中安培力為：F_A=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+a{t}^{2}{r}_{0}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{\frac{R}{t}+at{r}_{0}}$，
根據(jù)數(shù)學知識，當$\frac{R}{t}=at{r}_{0}$時安培力最大，所以當t=$\sqrt{\frac{R}{a{r}_{0}}}$時安培力最大，
最大答安培力為：F_Am=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{2\sqrt{a{r}_{0}R}}$，
由此可得最大拉力為：F=mgsinθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{2\sqrt{a{r}_{0}R}}$+ma．
答：（1）從金屬棒開始運動時計時，金屬棒上電流大小隨時間t變化的表達式為I=$\frac{BLat}{R+a{t}^{2}{r}_{0}}$；
（2）在金屬棒沿導軌向上運動的過程中，拉力F的最大值表達式為F=mgsinθ+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{2\sqrt{a{r}_{0}R}}$+ma．

點評 本題涉及勻變速直線運動和非勻變速直線運動，對于勻變速直線運動，采用電磁感應與運動學公式、牛頓第二定律結合的方法進行研究；能夠利用數(shù)學知識求解極值．