Question

11．在某生產(chǎn)車間的流水線中，有一裝有貨物的小車從傾角為 θ 的光滑斜坡上下滑，撞擊擋板后停下，貨物被工人取走（如圖 1）．為了減少小車對(duì)擋板的沖擊，某同學(xué)設(shè)想了一個(gè)電磁緩沖裝置，在小車的底部固定與小車前端平齊、匝數(shù)為 n、邊長(zhǎng)為 L、總電阻為 R 的正方形閉合線框；在斜坡的下端加上寬度同為 L 的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B，方向垂直斜坡向下，如圖2所示（小車未畫(huà)出）．若小車和貨物的總質(zhì)量為 m₁，線框的質(zhì)量為 m₂，小車在線框的下邊離底部擋板距離為 d 時(shí)靜止釋放，線圈進(jìn)入磁場(chǎng)后，小車立即做減速運(yùn)動(dòng)，已知小車在撞擊擋板前已經(jīng)勻速運(yùn)動(dòng)．求：

（1）線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度 v 大小和小車勻速運(yùn)動(dòng)的速度 v₂ 大��；
（2）若采用適當(dāng)粗些的導(dǎo)線繞制線框，保持匝數(shù)、邊長(zhǎng)、形狀不變，能否減小小車勻速運(yùn)動(dòng)的速度，從而增大緩沖的效果？請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線框產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）研究小車下滑d距離的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律求線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度 v 大�。�小車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，合力為零，推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，再由平衡條件求速度 v₂ 大�。�
（2）根據(jù)v₂ 的表達(dá)式，分析v₂的大小與哪些因素有關(guān)．
（3）根據(jù)能量守恒定律求小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線框產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）小車下滑d距離的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
（m₁+m₂）gsinθ=$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$
可得：v=$\sqrt{2gdsinθ}$
小車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，所受的安培力大小為：
F=nBIL=nB$\frac{nBL{v}_{2}}{R}$L=$\frac{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
由平衡條件得：（m₁+m₂）gsinθ=F
聯(lián)立解得：v₂=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）gRsinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）由v₂=$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）gRsinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$得：v₂=$\frac{（{m}_{1}+{ρ}_{密}•n4LS）g•\frac{{ρ}_{電}•n4L}{S}sinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{4（\frac{{m}_{1}}{S}+4n{ρ}_{密}L）g{ρ}_{電}sinθ}{n{B}^{2}{L}^{2}}$
則知，保持匝數(shù)、邊長(zhǎng)、形狀不變，導(dǎo)線加粗時(shí)，截面積S增大，由上式知能減小小車勻速運(yùn)動(dòng)的速度v₂，從而增大緩沖的效果．
（3）根據(jù)能量守恒定律，小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線框產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q=（m₁+m₂）gLsinθ+[$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}^{2}$-$\frac{1}{2}（{m}_{1}+{m}_{2}）{v}_{2}^{2}$]
聯(lián)立解得：Q=（m₁+m₂）g（L+d）sinθ-$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度 v 大小和小車勻速運(yùn)動(dòng)的速度 v₂ 大小分別為$\sqrt{2gdsinθ}$和$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）gRsinθ}{{n}^{2}{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）能減小小車勻速運(yùn)動(dòng)的速度，從而增大緩沖的效果．
（3）小車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線框產(chǎn)生的焦耳熱為（m₁+m₂）g（L+d）sinθ-$\frac{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{n}^{4}{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題要能正確分析小車及線框的受力情況，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律熟練推導(dǎo)安培力與速度的關(guān)系式是關(guān)鍵．解題時(shí)要注意線框的匝數(shù)．