Question

10．如圖甲為傾角θ=30°的絕緣光滑勻質(zhì)直角斜面體，其直角棱固定在水平地面上的光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，斜面長(zhǎng)l=2m．斜面體頂端固定一個(gè)半徑r=$\sqrt{3}$m的輕質(zhì)絕緣光滑圓弧軌道，圓弧軌道和斜面體底邊中點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)，斜面體與圓弧軌道平滑連接，圓弧軌道頂端的切線方向恰好豎直．其正視圖如圖乙所示．圓弧軌道所在的空間區(qū)域有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小E=1.0×10³V/m，圓弧軌道上方和下方均無(wú)電場(chǎng)．一個(gè)帶電量q=+1.0×10^-3C、質(zhì)量m=0.1kg的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從斜面體底邊中點(diǎn)處以初速度v₀=$\sqrt{22}$m/s垂直底邊沿斜面向上滑動(dòng)，斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，不計(jì)空氣阻力，g=10m/s²．試求：
（1）小滑塊能夠上升到距離地面的最大高度；
（2）為使斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，斜面體的質(zhì)量至少是多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件判斷出在圓弧軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓心角，根據(jù)動(dòng)能定理求出小滑塊能夠上升到距離地面的最大高度；
（2）分兩種情況討論，一是滑塊在斜面頂端時(shí)，根據(jù)力矩平衡求出斜面體的質(zhì)量；二是滑塊在軌道頂端時(shí)，根據(jù)力矩平衡和機(jī)械能守恒定律聯(lián)立求出斜面體的質(zhì)量，最后綜合得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知條件可得 qE=mg=1.0N，所以小滑塊在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．                           
由幾何關(guān)系可知，圓弧軌道對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，設(shè)小滑塊能夠上升到距離地面的最大高度為h．由動(dòng)能定理得$\frac{1}{2}mv_0^2=mg（h-rsin{60^o}）$
解得h=2.6m （h＞1m，答案合理）           
（2）為使斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)斜面體的質(zhì)量至少是M．滑塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)對(duì)斜面體的壓力為mgcosθ，且到達(dá)斜面頂端時(shí)力臂最大，所以要使滑塊在斜面上滑動(dòng)時(shí)保持斜面體靜止，必須滿(mǎn)足$Mg•\frac{1}{3}lcosθ=mgcosθ•l{sin^2}θ$
解得M=0.075Kg                                    
由qE=mg知，小滑塊在圓弧軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所需的向心力等于軌道對(duì)滑塊的壓力．由牛頓第三定律知，滑塊對(duì)軌道的壓力等于向心力，且滑塊在軌道頂端時(shí)對(duì)斜面體的力矩最大，所以要使滑塊在圓弧軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)保持斜面體靜止，斜面體的質(zhì)量至少滿(mǎn)足其重力力矩等于此時(shí)滑塊對(duì)軌道的壓力力矩．設(shè)滑塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v，根據(jù)力矩平衡條件有$Mg\frac{1}{3}lsin{60^o}=\frac{{m{v^2}}}{r}（lsin{30^o}+rsin{60^o}）$
滑塊從斜面底端滑到斜面頂端過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律有$\frac{1}{2}mv_0^2=mglsin{30^o}+\frac{1}{2}m{v^2}$
解得 M=0.05Kg．
綜上所述，M=0.075Kg                              
答：（1）小滑塊能夠上升到距離地面的最大高度2.6m；
（2）為使斜面體始終處于靜止?fàn)顟B(tài)，斜面體的質(zhì)量至少是0.075kg

點(diǎn)評(píng) 本題本題考查動(dòng)能定理及力矩平衡和機(jī)械能守恒定律等內(nèi)容，要注意正確受力分析，理清運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，本題綜合性很強(qiáng)，要能靈活運(yùn)用學(xué)過(guò)的規(guī)律解題．