Question

14．如圖所示，質(zhì)量為M=2kg，長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁的長(zhǎng)木板B靜止在光滑的水平面上，距木板右側(cè)L₀=0.5m處有一固定光滑半圓軌道，CD為其豎直直徑，半圓軌道在底端C處的切線與木板B的上表面在同一水平面上，水平傳送帶以恒定速率v=$\sqrt{5}$m/s順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其上表面與半圓軌道在最高點(diǎn)處的切線也在同一水平面上．某時(shí)刻質(zhì)量為m=1kg的小滑塊A（可視為質(zhì)點(diǎn)）以大小為v₀=6m/s水平速度從長(zhǎng)木板B的左端滑上木板，之后A、B向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)長(zhǎng)木板B與半圓軌道碰撞瞬間小滑塊A的速度為v₁=4m/s，并且此時(shí)小滑塊A恰好滑上半圓軌道，從A、B開始運(yùn)動(dòng)到滑上半圓軌道的過程中A、B的速度-時(shí)間圖象如圖乙所示．已知小滑塊恰好能通過半圓軌道最高點(diǎn)D，最后滑到傳送帶左端P時(shí)速度剛好減為零，已知小滑塊與水平傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1，g=10m/s²．求：

（1）B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小和木板B長(zhǎng)度L₁；
（2）豎直半圓軌道的半徑R；
（3）小滑塊從開始運(yùn)動(dòng)至到達(dá)P處的過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）A在長(zhǎng)木板B上向右滑動(dòng)的過程，根據(jù)圖象的斜率求出滑塊A的加速度大小，由牛頓第二定律求小滑塊與長(zhǎng)木板間摩擦因數(shù)．再對(duì)A和系統(tǒng)，分別運(yùn)用動(dòng)能定理列式，求解B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小和木板B長(zhǎng)度L₁；
（2）對(duì)A從C到D的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，再結(jié)合在D點(diǎn)，重力等于向心力列式，聯(lián)立可求得圓軌道的半徑R．
（3）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A在B相對(duì)滑動(dòng)的位移，求出摩擦生熱．分析A在傳送帶的運(yùn)動(dòng)過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求D到P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即可求得A與傳送帶間的相對(duì)位移的大小，從而求得熱量Q．

解答 解：（1）由圖象得：小滑塊在木板上做勻減速時(shí)的加速度大小為  a₁=$\frac{6-4}{1}$=2m/s²；
設(shè)小滑塊與長(zhǎng)木板間摩擦因數(shù)為μ₁，由μ₁mg=ma₁，解得：μ₁=0.2
設(shè)碰撞瞬間木板B的速度大小為v_B，對(duì)B，由動(dòng)能定理得：
   μ₁mgL₀=$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$
解得：v_B=1m/s
對(duì)長(zhǎng)木板和小滑塊構(gòu)成的系統(tǒng)，由能量守恒得：
   μ₁mgL₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}M{v}_{B}^{2}$
解得：木板B的長(zhǎng)度 L₁=4.5m
（2）小滑塊恰好過D點(diǎn)速度大小為v_D，則有：
   mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由C到D機(jī)械能守恒定律知：
  mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
聯(lián)立解得：R=0.32m，v_D=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$m/s
（3）設(shè)傳送帶兩轉(zhuǎn)軸之間的距離為L(zhǎng)₂，小滑塊滑上傳送帶做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為：
   a₂=μg=1m/s²；
由 ${v}_{D}^{2}$=2a₂L₂，代入數(shù)據(jù)解得：L₂=1.6m
小滑塊在B上滑動(dòng)時(shí)因摩擦而產(chǎn)生的熱量為：Q₁=9J
小滑塊相對(duì)傳送帶滑行的距離為：s=L₂+v•$\frac{{L}_{2}}{\frac{{v}_{D}}{2}}$
代入數(shù)據(jù)解得 s=5.6m
產(chǎn)生的熱量為：Q₂=μmgs=0.1×1×10×5.6J=5.6J
故整個(gè)過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=Q₁+Q₂=14.6J
答：
（1）B與半圓軌道碰撞瞬間木板B的速度大小是1m/s，木板B長(zhǎng)度L₁是4.5m．
（2）豎直半圓軌道的半徑R是0.32m；
（3）小滑塊從開始運(yùn)動(dòng)到到達(dá)P處的過程中因摩擦而產(chǎn)生的熱量Q是14.6J．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是分析清楚滑塊A的運(yùn)動(dòng)過程，抓住每個(gè)過程和各個(gè)狀態(tài)的特點(diǎn)和物理規(guī)律，要注意摩擦產(chǎn)生的熱量要根據(jù)相對(duì)位移求解．