Question

如圖所示，傾角為θ=45°的光滑斜軌與半徑為R的光滑半圓環(huán)相切，切點為B.一質(zhì)量為m的小球從斜軌上高為h=2R的A處無初速下滑進入圓環(huán)軌道.

（1）小球將能到達圓環(huán)軌道上多高的地方？小球脫離圓環(huán)軌道時的速度多大？

（2）若小球從斜軌上高為h=5R/2處滑下，進入圓環(huán)軌道，接著小球從圓環(huán)最高點C水平飛出，又落到斜軌上.在小球擊中斜軌前的瞬間，小球的速度多大？

Answer 1

解：（1）小球脫離圓環(huán)時，對圓環(huán)的壓力為零.設小球的速度為v，DO和CO間的角度為α.

mgcosα=m                                                           

以最低點為重力勢能的零點mg2R=mgR(1+cosα)+mv²                       

cosα=

小球能到達的高度為h=R(1+cosα)=R.                                       

（2）小球從A到C，機械能守恒，有mv_C²+mg·2R=mgh=mg·R

解得v_C=

如圖建立坐標系，設小球落在斜軌上的坐標是P（x,y）

小球的軌跡方程為y=                                                   ①

AB斜軌的方程為y=-xtan45°+(+1)R                                          ②

將v_C=代入①，得y=                                             ③

y=-x+(+1)R                                                           ④

解③④得x=R,y=R(另一組解不適合，舍去)                                

從C到落點，機械能守恒，

mv_c²+mgy=mv²,解得v=.