Question

1．如圖所示，一固定斜面體，其斜邊與水平底邊的夾角θ=37°，BC為一段光滑圓弧軌道，DE為半圓形光滑軌道，兩圓弧軌道均固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜 止在光滑的地面上，右端緊靠C點(diǎn)，上表面所在平面與兩圓弧分別相切于C、D兩點(diǎn)．一物塊被輕放在斜面上F點(diǎn)由靜止釋放，物塊離開(kāi)斜面后恰好在B點(diǎn)沿切線進(jìn)入B段 圓弧軌道，再經(jīng)C點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)被牢固粘連．物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m，滑板質(zhì)量M=2m，DE半圓弧軌道和BC圓弧軌道的半徑均為R，斜面體水平底邊與滑板上表面的高度差H=2R，板長(zhǎng)l=6.5R，板左端到D點(diǎn)的距離L在R＜L＜5R范圍內(nèi)取值，F(xiàn)點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=12.5R，物塊與斜面、物塊與滑板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，重力加速度取g．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：（結(jié)果用字母 m、g、R、L 表示）

（1）求物塊滑到A點(diǎn)的速度大�。�
（2）求物塊滑到C點(diǎn)時(shí)所受圓弧軌道的支持力的大�。�
（3）試討論物塊從滑上滑板到離開(kāi)左端的過(guò)程中，克服摩擦力做的功W_f與L的關(guān)系； 并判斷物塊能否滑到DE軌道的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）對(duì)F到A的過(guò)程中，運(yùn)用動(dòng)能定理求出物塊滑到A點(diǎn)的速度大小．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出到達(dá)C點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大�。�
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出物塊和 滑板達(dá)到的共同速度，結(jié)合動(dòng)能定理分別求出物塊和滑板的位移大小，判斷出物塊與滑板達(dá)到相同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板，
討論當(dāng)2R≤L＜5R和2R≤L＜5R，得出滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合動(dòng)能定理分析判斷．

解答 解：（1）設(shè)物塊滑動(dòng)A點(diǎn)的速度為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理有：
mgsinθ×12.5R-μmgcosθ×12.5R=$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{5gR}$．
（2）設(shè)物塊滑動(dòng)C點(diǎn)的速度為v₂，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=mg2R+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{2}=3\sqrt{gR}$．
根據(jù)牛頓第二定律得，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$，
解得${F}_{N}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}+mg=10mg$．
（3）物塊從C滑上滑板后開(kāi)始做勻減速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)滑板開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物塊與滑板達(dá)到共同速度v₃時(shí)，二者開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)．
規(guī)定v₂的方向?yàn)檎较�，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得，mv₂=（m+M）v₃，
解得${v}_{3}=\sqrt{gR}$．
對(duì)物塊根據(jù)動(dòng)能定理有：-μmgl₁=$\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
對(duì)滑板根據(jù)動(dòng)能定理有：$μmg{l}_{2}=\frac{1}{2}M{{v}_{3}}^{2}-0$，
解得l₁=8R，l₂=2R，
物塊相對(duì)滑板的位移△l=l₂-l₁＜l，
即物塊與滑板達(dá)到相同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板，
討論：①當(dāng)R＜L＜2R，物塊在滑板上一直勻減速運(yùn)動(dòng)至D，運(yùn)動(dòng)的位移為6.5R+L，克服摩擦力做功W_f=μmg（6.5R+L）=$\frac{1}{4}mg（13R+2L）$．
設(shè)滑上D點(diǎn)的速度為v_D，根據(jù)動(dòng)能定理有：$-μmg（6.5R+L）=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}$-$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=\frac{1}{2}mg（2.5R-L）＜mgR$，
所以物塊不可能滑到DE軌道的中點(diǎn)．
②當(dāng)2R≤L＜5R，物塊先勻減速運(yùn)動(dòng)8R，然后勻速運(yùn)動(dòng)L-2R，在勻減速運(yùn)動(dòng)0.5R，克服摩擦力做功${W}_{f}=μmg（8R+0.5R）=\frac{17}{4}mgR$．
設(shè)滑上D點(diǎn)的速度為v_D′，根據(jù)動(dòng)能定理有：$-μmg（8R+0.5R）=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}=\frac{1}{4}mgR＜mgR$．
所以 物塊不可能滑到DE的中點(diǎn)．
答：（1）物塊滑到A點(diǎn)的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）物塊滑到C點(diǎn)時(shí)所受圓弧軌道的支持力的大小為10mg；
（3）當(dāng)R＜L＜2R，克服摩擦力做功為$\frac{1}{4}mg（13R+2L）$..不能到達(dá)DE的中點(diǎn)．
當(dāng)2R≤L＜5R，克服摩擦力做功為$\frac{17}{4}mgR$．不能到達(dá)DE的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒以及有摩擦的板塊模型中克服摩擦力做的功．判斷物塊與滑板在達(dá)到相同共同速度時(shí)，物塊未離開(kāi)滑板是關(guān)鍵，是一道比較困難的好題．