Question

1．真空中有如圖所示矩形區(qū)域，該區(qū)域總高度為2l₀，總寬度為6l₀，其中上半部分有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，下半部分有豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，x軸恰為水平分界線，正中心恰為坐標(biāo)原點(diǎn)O．在x=4l₀處有一與x軸垂直的足夠大的光屏（圖中未畫(huà)出）．質(zhì)量為m、電荷量的絕對(duì)值為q的帶負(fù)電粒子源源不斷地從下邊界的坐標(biāo)值為（-l₀，-l₀）的P點(diǎn)由靜止開(kāi)始經(jīng)過(guò)勻強(qiáng)電場(chǎng)加速，通過(guò)x軸后進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．粒子間的相互作用和粒子重力均不計(jì)．
（1）若粒子在磁場(chǎng)中恰好不從上邊界射出，求加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E
（2）若將光屏向x軸正方向平移，粒子在打在屏上的位置始終不改變，則加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E′多大？

Answer 1

分析 （1）粒子恰不從上邊界射出，則粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為l₀，從而由洛侖茲力提供向心力可以求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度，此速度是電場(chǎng)中加速獲得，由動(dòng)能定理求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）光屏向x軸正方向平移，粒子在打在屏上的位置始終不改變，則表明粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)后從右邊界射出時(shí)，速度方向應(yīng)水平向右．那么做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑與右邊界的寬度4l₀有一定的幾何關(guān)系，同理可以求出加速電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小．

解答 解：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速時(shí)，根據(jù)動(dòng)能定理有：
qEl₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有：
qvB=$m\frac{{v}^{2}}{r}$
要求粒子在磁場(chǎng)中恰好不從上邊界射出，則r=l₀
解得：E=$\frac{q{B}^{2}{l}_{0}}{2m}$
（2）由“將光屏向x軸正方向平移，粒子打在屏上的位置始終不變”，知離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)粒子速度方向必平行于x軸，沿+x軸方向．故進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：
r′=$\frac{4{l}_{0}}{2n+3}$   （n=1，2，3…）
又 qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{r′}$
帶電粒子在電場(chǎng)中加速，根據(jù)動(dòng)能定理有：
qE′l₀=$\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
解得：E′=$\frac{8q{B}^{2}{l}_{0}}{（2n+3）^{2}m}$    （n=1，2，3…）
答：（1）若粒子在磁場(chǎng)中恰好不從上邊界射出，加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E為$\frac{q{B}^{2}{l}_{0}}{2m}$．
（2）若將光屏向x軸正方向平移，粒子在打在屏上的位置始終不改變，則加速電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)E′為$\frac{8q{B}^{2}{l}_{0}}{（2n+3）^{2}m}$  （n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 要注意的是第二問(wèn)：平移光屏后帶電粒子打在光屏上位置不變，則速度方向必平行于x軸，那么帶電粒子在磁場(chǎng)中是至少旋轉(zhuǎn)2.5個(gè)圓周，不可能是1.5個(gè)圓周，否則粒子從上邊界穿出，所以有4l₀=（2n+3）r′．