Question

10．宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠(yuǎn)的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用．設(shè)四星系統(tǒng)中每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，其中L遠(yuǎn)大于R．已知萬有引力常量為G．忽略星體自轉(zhuǎn)效應(yīng)，關(guān)于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（　�。�

• A． 四顆星圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑均為$\frac{L}{2}$
• B． 四顆星圓周運(yùn)動(dòng)的線速度均為 $\sqrt{\frac{Gm}{L}（2+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$
• C． 四顆星圓周運(yùn)動(dòng)的周期均為2π $\sqrt{\frac{2{L}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
• D． 四顆星表面的重力加速度均為G$\frac{m}{{R}^{2}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和周期．
根據(jù)萬有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．

解答 解：A、任一顆星體在其他三個(gè)星體的萬有引力作用下，合力方向指向?qū)�角線的交點(diǎn)，圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，任一星體在其他三個(gè)星體的萬有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑均：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，故A錯(cuò)誤．
B、星體在其他三個(gè)星體的萬有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力定律和向心力公式得：G$\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}$+G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}L}$，解得：v=$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{4L}}$，故B錯(cuò)誤；
C、由牛頓第二定律得：G$\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}$+G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$•$\frac{\sqrt{2}L}{2}$，解得：T=2π$\sqrt{\frac{2{L}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故C正確；
D、星球表面的物體受到的萬有引力等于它受到的重力，即：G$\frac{mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故D正確；
故選：CD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．