Question

5．如圖所示，將一個(gè)折射率為n的透明長(zhǎng)方體放在空氣中，矩形ABCD是它的一個(gè)截面，一單色細(xì)光束入射到P點(diǎn)，入射角為θ．$\overline{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overline{AD}$，求：
（1）若要使光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能射至AD面上，則sinθ的最小值為多少？
（2）若要此光束在AD面上發(fā)生全反射，則sinθ的范圍如何？

Answer 1

分析 （1）光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后射至AD面上D點(diǎn)時(shí)折射角最小，對(duì)應(yīng)的入射角最小，由幾何關(guān)系求出最小的折射角正弦，再由折射定律求出sinθ的最小值．
（2）結(jié)合全反射的條件，以及折射定律和幾何關(guān)系求出sinθ的范圍．

解答 解：（1）光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后射至AD面上D點(diǎn)時(shí)折射角最小，對(duì)應(yīng)的入射角最小，設(shè)最小折射角為α，$\overline{AP}$=d．根據(jù)幾何關(guān)系有
sinα=$\frac{\frac{1}{2}d}{\sqrt{（\frac{1}{2}d）^{2}+thbosk7^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
根據(jù)折射定律有：
$\frac{sinθ}{sinα}$=n
解得sinθ的最小值為：sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$n．
（2）如圖，要此光束在AD面上發(fā)生全反射，則要求射至AD面上的入射角β應(yīng)滿足
sinβ≥sinC
又 sinC=$\frac{1}{n}$
由數(shù)學(xué)知識(shí)有：
sinβ=cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\sqrt{1-（\frac{sinθ}{n}）^{2}}$
結(jié)合sinθ＞$\frac{\sqrt{5}}{5}$n
解得：$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜sinθ≤$\sqrt{{n}^{2}-1}$．
答：（1）若要使光束進(jìn)入長(zhǎng)方體后能射至AD面上，sinθ的最小值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$n．
（2）若要此光束在AD面上發(fā)生全反射，sinθ的范圍為$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜sinθ≤$\sqrt{{n}^{2}-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是要掌握全反射的條件，能熟練運(yùn)用幾何知識(shí)求出相關(guān)角度，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．