Question

（2011?重慶模擬）如圖所示，光滑絕緣水平面上方有勻強(qiáng)電場(chǎng)E（圖中未畫出）．在O點(diǎn)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的絕緣細(xì)繩系一質(zhì)量m=0.02kg、帶正電且電荷量q=4×10^-4C的小球A，使其在豎直平面內(nèi)以速度v_A=2m/s沿順時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)與地面剛好不接觸．質(zhì)量和電量與A完全相同的小球B以速度v_B=10m/s 水平向右運(yùn)動(dòng)且恰好能與A球在最低點(diǎn)發(fā)生正碰，并瞬間成為一個(gè)整體C （ A、B、C均可以看作質(zhì)點(diǎn)且與地面剛好不接觸），碰后勻強(qiáng)電場(chǎng)大小立即變?yōu)镋′=

3

E，方向變?yōu)樗�平向右方向．（不考慮 A、B 兩小球間庫侖力作用）取g=10m/s²．求：
（ 1 ）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小和方向；
（ 2 ）A、B兩小球正碰成為一個(gè)整體C的速度大�。�
（ 3 ）要使整體C在隨后的運(yùn)動(dòng)過程中，能在豎直面內(nèi)作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，繩長(zhǎng)L應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）對(duì)小球受力分析，受到重力、電場(chǎng)力和繩子的拉力，由于小球A在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故重力和電場(chǎng)力做的總功一直為零，故重力和電場(chǎng)力平衡，拉力提供向心力；
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律列式求解即可；
（3）要使整體C在隨后的運(yùn)動(dòng)過程中，能在豎直面內(nèi)作完整的圓周運(yùn)動(dòng)，臨界條件是通過重力場(chǎng)和電場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)的最高點(diǎn)時(shí)，重力和電場(chǎng)力的合力恰好提供向心力，然后根據(jù)牛頓第二定律、動(dòng)能定理列方程聯(lián)立求解．

解答：解：（1）小球A在豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以受到的電場(chǎng)力與重力大小相等、方向相反，即有
qE=mg
解得E=500N/C
A球受到的電場(chǎng)力豎直向上，則電場(chǎng)方向豎直向上
即勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為500N/C，方向?yàn)樨Q直向上．
（2）設(shè)AB碰撞后瞬間整體C帶電量為Q，質(zhì)量為M，速度為V
Q=2q=8×10^-4C，M=2m=0.04kg
由動(dòng)量守恒，得到 mv_A-mv_B=MV
解得V=4m/s
即A、B兩小球正碰成為一個(gè)整體C的速度大小為4m/s．
（3）對(duì)C受力情況分析可知：C受電場(chǎng)力和重力的合力為恒力F，大小為F=2Mg，方向與豎直方向夾角為60°，其等效最高點(diǎn)為P點(diǎn)，即PO與豎直方向夾角為60°，F(xiàn)沿著PO方向．

要使整體C在隨后的運(yùn)動(dòng)過程中，能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，需C能通過P點(diǎn)，設(shè)繩子對(duì)C彈力為T，根據(jù)向心力公式，有
F+T=M

v 2 P

L

T≥0
得到vP≥

2gL

C由水平面運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理，得到：
-Mg

3L

2

-QE′

3

2

L=

1

2

M

v

2 p

-

1

2

Mv2
解得：L≤0.2m
即繩子長(zhǎng)度L應(yīng)該滿足的條件：0＜L≤0.2m．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是分析清楚各個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后根據(jù)牛頓第二定律和動(dòng)能定理列方程聯(lián)立求解；難點(diǎn)在于將重力場(chǎng)和電場(chǎng)看作一個(gè)復(fù)合場(chǎng)進(jìn)行處理，切入點(diǎn)在于小球恰好通過復(fù)合場(chǎng)的最高點(diǎn)．