Question

9．2013年11月，“嫦娥三號(hào)”飛船攜“玉兔號(hào)”月球車圓滿完成探月任務(wù)．某中學(xué)科技小組提出了一個(gè)對(duì)“玉兔”回家的設(shè)想．如圖，將“玉兔號(hào)”月球車發(fā)射到距離月球表面h高度的軌道上，與在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的飛船對(duì)接，然后由飛船送“玉兔”返回地球．已知：“玉兔號(hào)”月球車質(zhì)量為m，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G．
（1）求“玉兔號(hào)”月球車恰好離開月球表面（不再落回月球表面）的最小速度．
（2）以月球表面為零勢(shì)能面，“玉兔號(hào)”月球車在h高度的“重力勢(shì)能”可表示為E_P（E_P為已知 條件）．若忽略月球自轉(zhuǎn)，從月球表面開始發(fā)射到在對(duì)接完成這一過程，求需要對(duì)“玉兔號(hào)”
月球車做的功．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)“玉兔號(hào)”月球車?yán)@月球表面運(yùn)行時(shí)，根據(jù)萬有引力提供向心力列式，即可求得月球車恰好離開月球表面的最小速度；
（2）先根據(jù)萬有引力提供向心力，以及重力等于萬有引力，求出“玉兔”繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能，再根據(jù)功能關(guān)系求解需要對(duì)“玉兔號(hào)”做的功．

解答 解：（1）“玉兔號(hào)”月球車恰好離開月球表面的最小速度為v，根據(jù)萬有引力提供向心力，得：
 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
在月球表面，有：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
聯(lián)立可得：v=$\sqrt{gR}$        
（2）“玉兔號(hào)”月球車在h高度運(yùn)行時(shí)，由萬有引力等于向心力有：
G$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R+h}$
設(shè)“玉兔號(hào)”在該軌道繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能為E_k，則有：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
則需要對(duì)“玉兔號(hào)”月球車做的功為：
W=E_p+E_k．
聯(lián)立解得：W=E_p+$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+h）}$
答：（1）“玉兔號(hào)”月球車恰好離開月球表面（不再落回月球表面）的最小速度是$\sqrt{gR}$．
（2）需要對(duì)“玉兔號(hào)”月球車做的功是E_p+$\frac{mg{R}^{2}}{2（R+h）}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力的兩個(gè)重要思路：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．