Question

4．如圖所示，ABC是一直角三角形棱鏡的橫截面，位于截面所在平面內(nèi)的一束光線(xiàn)由O點(diǎn)垂直BC射入，已知棱鏡的折射率n=$\sqrt{2}$，AB=8L，OB=$\sqrt{3}$L，∠CAB=15°，已知sin15°=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$．
①求光線(xiàn)第一次射出棱鏡時(shí)，出射光線(xiàn)的方向；
②求從O點(diǎn)入射到第一次輸出，光線(xiàn)在棱鏡中所用的時(shí)間．

Answer 1

分析 ①根據(jù)sinC=$\frac{1}{n}$求出臨界角，由幾何知識(shí)和光的反射定律求出光線(xiàn)在AC面和AB面的入射角，確定光線(xiàn)第一次射出棱鏡時(shí)出射光線(xiàn)與AB夾角；
②由幾何知識(shí)求出光線(xiàn)棱鏡中傳播的路程，由v=$\frac{c}{n}$求出光線(xiàn)在棱鏡中傳播速度，再求光線(xiàn)在棱鏡中所用的時(shí)間．

解答 解：①設(shè)臨界角為C，由$sinC=\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得：C=45°．
由幾何知識(shí)有∠r₁=90°-15°=75°，∠r₃=∠r₂-15°=45°，∠r₂=∠r₁-15°=60°
因?yàn)镃=45°，所以在E、F、G點(diǎn)均全反射，∠r₄=∠r₃-15°=30°
由$n=\frac{{sin{i_4}}}{{sin{r_4}}}$，得：∠i₄=45°
故出射光線(xiàn)的方向與AB夾角為45°斜向左下方．
②由$n=\frac{c}{v}$得：$v=\frac{{\sqrt{2}}}{2}c$
由對(duì)稱(chēng)性可知 EF=EF₁，F(xiàn)G=F₁G₁，GH=G₁H₁
所以 x=OE+EF+FG+GH=OH₁
$tan∠{r_5}=\frac{{{H_1}N}}{AN}$，其中∠r₅=60°，${H_1}N=OB=\sqrt{3}L$
得：AN=L，x=OH₁=AB-AN=7L
則光線(xiàn)在棱鏡中所用的時(shí)間為：$t=\frac{x}{v}$
聯(lián)立解得：$t=\frac{{7\sqrt{2}L}}{c}$
答：①出射光線(xiàn)的方向與AB夾角為45°斜向左下方．
②從O點(diǎn)入射到第一次輸出，光線(xiàn)在棱鏡中所用的時(shí)間為$\frac{7\sqrt{2}L}{c}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握全發(fā)射的條件，以及折射定律，作出光路圖，結(jié)合幾何關(guān)系進(jìn)行求解．作光路圖時(shí)要注意光線(xiàn)必須畫(huà)實(shí)線(xiàn)、法線(xiàn)必須畫(huà)虛線(xiàn)．