Question

17．如圖所示，四分之一粗糙圓弧軌道PD的圓心O₁和光滑半圓軌道DQ的圓心O₂，與斜面體ABC的豎直面AB在同一豎直線上，兩圓弧軌道銜接處的距離忽略不計(jì)，斜面體ABC的底面BC是水平面，一個(gè)質(zhì)量m=0.2kg，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從P點(diǎn)由靜止開(kāi)始釋放，先后沿兩個(gè)圓弧軌道運(yùn)動(dòng)，最后落在斜面體上（不會(huì)彈起），已知四分之一圓弧的半徑R₁=1.0m，半圓的半徑R₂=0.6m，AB=9m，BC=12m，O₂A=1.1m，小球在半圓最低點(diǎn)Q對(duì)軌道的壓力為14N．求：
（1）小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）小球在四分之一圓弧內(nèi)下滑時(shí)克服摩擦力做的功；
（3）小球落在斜面上的位置到A點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）小球經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)，由軌道的支持力和重力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求小球經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的速度大�。�再研究小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求出小球通過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）小球從P到D的過(guò)程，運(yùn)用動(dòng)能定理求克服摩擦力做的功．
（3）小球離開(kāi)半圓軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系求解小球落在斜面上的位置到A點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）小球在半圓最低點(diǎn)Q對(duì)軌道的壓力為14N，由牛頓第三定律知小球在Q點(diǎn)受到的支持力為：N=14N
在Q點(diǎn)，由牛頓第二定律和向心力公式得：
N-mg=m$\frac{{v}_{Q}^{2}}{{R}_{2}}$
解得：v_Q=6m/s
小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
2mgR₂+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{Q}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2$\sqrt{3}$m/s
（2）小球從P運(yùn)動(dòng)到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mgR₁-W_f=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
解得：W_f=0.8J
（3）小球離開(kāi)半圓軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知：
tanθ=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$
Q、A兩點(diǎn)間的距離為：h=O₂A-R₂=1.1-0.6=0.5m
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
  x=Lcosθ=vt
  y=h+Lsinθ=$\frac{1}{2}$gt²．
聯(lián)立解得：小球落在斜面上的位置到A點(diǎn)的距離為：L=7.5m
答：（1）小球經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度大小為2$\sqrt{3}$m/s；
（2）小球在四分之一圓弧內(nèi)下滑時(shí)克服摩擦力做的功是0.8J；
（3）小球落在斜面上的位置到A點(diǎn)的距離是7.5m．

點(diǎn)評(píng) 分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的物理規(guī)律是關(guān)鍵．軌道光滑時(shí)往往根據(jù)機(jī)械能守恒定律求速度．對(duì)于平拋運(yùn)動(dòng)，要熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法研究，同時(shí)要把握隱含的幾何關(guān)系．