Question

密度大于液體密度的固體顆粒，在液體中豎直下沉，但隨著下沉速度變大，固體所受的阻力也變大，故下沉到一定深度后，固體顆粒就會勻速下沉．該實(shí)驗(yàn)是研究球形固體顆粒在水中豎直勻速下沉的速度與哪些量有關(guān)的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的記錄如下表：（水的密度為ρ₀=1.0×10³kg/m³）

次序	固體球的半徑r（m）	固體的密度ρ（kg/m3）	勻速下沉的速度v（m/s）
1	0.5×10-3	2.0×103	0.55
2	1.0×10-3	2.0×103	2.20
3	1.5×10-3	2.0×103	4.95
4	0.5×10-3	3.0×103	1.10
5	1.0×10-3	3.0×103	4.40
6	0.5×10-3	4.0×103	1.65
7	1.0×10-3	4.0×103	6.60

（1）我們假定下沉速度=v與重力加速度g成正比，根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，你可以推得球形固體在水中勻速下沉的速度v還與______有關(guān)，其關(guān)系式是______．（比例系數(shù)可用k表示）
（2）對勻速下沉的固體球作受力分析，固體球受到浮力（浮力大小等于排開液體的重力）、重力（球體積公式V=

4πr3

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計(jì)算）、勻速下沉?xí)r球受到的阻力f．可寫出f與v及r的關(guān)系式為______．（分析和推導(dǎo)過程不必寫）

Answer 1

（1）從表格中次序?yàn)?、2、3或4、5或6、7的各行中可以看出，固體顆粒密度相同，固體球的半徑r越大則勻速下沉的速度v越大，即勻速下沉的速度與固體顆粒的半徑有關(guān)，
從表格中的1、4、6或2、5、7各行可以看出固體球的半徑r相同，固體的密度ρ越大則勻速下沉的速度v越大，即即勻速下沉的速度與固體顆粒的密度有關(guān)．
設(shè)球形固體顆粒的半徑為r，密度為ρ，在水中勻速下降的速度為v．由題意知v∝g．由控制變量法容易得出：當(dāng)ρ一定時(shí)，比如：從表格中次序?yàn)?、2、3或4、5或6、7的各行可以得出結(jié)論：v∝r²．
但是表格中的1、4、6或2、5、7各行，當(dāng)r一定時(shí)v和ρ的關(guān)系難以立即判斷．因此需要換個角度考慮．我們可以觀察，當(dāng)r一定時(shí)，在每個ρ值后都減去1.0×10³kg/m³（即水的密度）得到的數(shù)值與v成正比．即：
v∝（ρ-ρ₀），則：v=kgr²（ρ-ρ₀）．
（2）勻速下沉?xí)r，由平衡條件可知重力等于固體球所受的浮力加球所受的阻力，所以：mg=ρ₀

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g+f，
把固體球的質(zhì)量 m=ρ

4πr3

3

代入上式，結(jié)合v=kgr²（ρ-ρ₀），
解得：f=

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故答案為：（1）ρ、r，v=kgr²（ρ-ρ₀）．
（2）f=

4πrv

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