Question

17．圖甲中A、B兩板間的電場的場強隨時間變化的情況如圖乙所示，在t=0時，A極板中心附近有一個帶電荷量為q，質(zhì)量為m的粒子，從靜止開始被電場加速，經(jīng)n個周期后粒子恰好從B板中心小孔射出，這時帶電粒子速度多大？AB兩板的間距為多大？（不計粒子重力）

Answer 1

分析 由圖乙所示可知，在每個周期中的前半個周期粒子做勻加速直線運動，后半個周期做勻速直線運動，應用動量定理可以求出力的速度；
應用牛頓第二定律與運動學公式求出粒子的位移，然后確定極板間的距離．

解答 解：對粒子，由動量定理得：qE₀•n$\frac{T}{2}$=mv-0，
解得：v=$\frac{nq{E}_{0}T}{2m}$；
由牛頓第二定律可知，粒子加速度：a=$\frac{q{E}_{0}}{m}$，
第1個周期內(nèi)，速度：v₁=a•$\frac{T}{2}$=$\frac{q{E}_{0}T}{2m}$，位移：x₁=$\frac{{v}_{1}}{2}$$\frac{T}{2}$+v₁$\frac{T}{2}$=$\frac{3q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
第2個周期內(nèi)，速度：v₂=v₁+a•$\frac{T}{2}$=$\frac{q{E}_{0}T}{m}$，位移：x₂=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}$$\frac{T}{2}$+v₂$\frac{T}{2}$=$\frac{7q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
第3個周期內(nèi)，速度：v₃=v₂+a•$\frac{T}{2}$=$\frac{3q{E}_{0}T}{2m}$，位移：x₃=$\frac{{v}_{2}+{v}_{3}}{2}$$\frac{T}{2}$+v₃$\frac{T}{2}$=$\frac{11q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
…
第n個周期內(nèi)，速度：v_n=$\frac{nq{E}_{0}T}{2m}$，位移：x_n=$\frac{[3+4（n-1）]q{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
粒子的總位移：x=x₁+x₂+x₃+…+x_n=$\frac{（2n+1）nq{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$，
AB兩板的間距為：d=x=$\frac{（2n+1）nq{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$；
答：這時帶電粒子速度為$\frac{nq{E}_{0}T}{2m}$；AB兩板的間距為$\frac{（2n+1）nq{E}_{0}{T}^{2}}{8m}$．

點評 本題考查了求粒子的速度、極板間的距離問題，分析清楚粒子運動過程是解題的前提與關鍵，應用牛頓第二定律與運動學公式可以解題；解題時注意數(shù)學歸納法的應用，注意等差數(shù)列求和公式的應用．