Question

（2010?寧夏）如圖所示，在0≤x≤a、o≤y≤

a

2

范圍內(nèi)有垂直手xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．坐標(biāo)原點(diǎn)0處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在0～90⁰范圍內(nèi)．己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑介于a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一．求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的
（1）速度的大小：
（2）速度方向與y軸正方向夾角的正弦．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)時(shí)，其回旋的角度最大，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系列出方程求解出軌道半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力得出速度大��；
（2）最后離開磁場(chǎng)的粒子，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，即為第一問中軌跡，故可以根據(jù)幾何關(guān)系列出方程求解出其速度方向與y軸正方向夾角的正弦．

解答：解：設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得：
qvB=m

v2

R

解得
R=

mv

qB

當(dāng)

a

2

＜R＜a時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧，圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，依題意，t=

T

4

，回旋角度為∠OCA=

π

2

設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為α，由幾何關(guān)系得：
Rsinα=R-

a

2

，Rsinα=a-Rcosα，且sin²α+cos²α=1
解得：
R=(2-

6

2

)a，v=(2-

6

2

)

aqB

m

，sinα=

6- 6

10

故最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的速度大小為v=(2-

6

2

)

aqB

m

；
（2）由第一問可知，最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的速度方向與y軸正方向夾角的正弦為sinα=

6- 6

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是畫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)幾何關(guān)系得到軌道半徑，再根據(jù)洛侖茲力提供向心力得到速度大�。�