Question

16．過山車是游樂場中常見的設(shè)施．如圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的兩個(gè)圓形軌道組成，B、C、分別是圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距是L，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m．一個(gè)質(zhì)量為m=1.0kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以v₀=12.0m的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距L₁=6.0m．小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的．假設(shè)水平軌道足夠長，重力加速度取g=10m/s²，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字．試求

（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球作用力的大小；
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；
（3）小球最后在水平面上停下來時(shí)由于摩擦產(chǎn)生的熱量是多少？

Answer 1

分析 （1）小球以一定速度經(jīng)過粗糙水平軌道后，再滑上豎直的光滑圓軌道，通過動(dòng)能定理可求出小球在第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)的速度；由牛頓第二定律可算出軌道對小球的作用力．
（2）由小球恰能通過第二個(gè)圓形軌道，則由牛頓第二定律可求出最高點(diǎn)的速度大小，再由動(dòng)能定理可求出B、C間距；
（3）根據(jù)能量守恒知由于摩擦產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）設(shè)小球經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由動(dòng)能定理得：
-μmgL₁-2mgR₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀² ，
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=2$\sqrt{10}$m/s；
小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對它的作用力F，由牛頓第二定律得：
F+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$，
代入數(shù)據(jù)解得：F=10.0N…③
（2）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v₂，小球恰能通過第二圓形軌道，在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，
-μmg（L₁+L）-2mgR₂=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入數(shù)據(jù)解得：L=12.5m；
（3）根據(jù)能量守恒知小球最后在水平面上停下來時(shí)由于摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×1{2}^{2}$=72J
答：（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球作用力的大小為10N；   
（2）如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是12.5m；
（3）在水平面上停下來時(shí)由于摩擦產(chǎn)生的熱量為72J．

點(diǎn)評 選取研究過程，運(yùn)用動(dòng)能定理解題．動(dòng)能定理的優(yōu)點(diǎn)在于適用任何運(yùn)動(dòng)包括曲線運(yùn)動(dòng)．知道小球恰能通過圓形軌道的含義以及要使小球不能脫離軌道的含義．