Question

圖（甲）所示，一對金屬板M和N平行、豎直放置，M、N的中心分別有小孔P、Q，PQ連線垂直金屬板．N板右側(cè)有一半徑為r的圓形有界的勻強磁場，其圓心O在PQ的延長線上，磁場方向垂直于紙面向外，磁感應強度大小為B．置于P孔附近的粒子源連續(xù)不斷地沿PQ方向放射出質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子（帶電粒子所受的重力、初速度及粒子間的相互作用力可忽略），從某一時刻開始，在板M、N間加上如圖（乙）所示的交變電壓，其周期為T、電壓為U，t=0時M板電勢高于N板電勢．已知帶電粒子在M、N兩板間一直做加速運動的時間小于T/2，并且只有在每一個周期的前T/4時間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，求：
（1）帶電粒子從小孔Q中射出的最大速度；
（2）M、N兩板間的距離；
（3）在沿圓形磁場的邊界上，有帶電粒子射出的最大弧長．

Answer 1

分析：（1）只有在M、N間電場中一直加速的粒子從Q孔射出時的速度才最大，加速電壓為U，根據(jù)動能定理求解最大速度；
（2）由于電壓是周期性變化的，由題：只有在每一個周期的前

1

4

T時間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，所以每一個周期的第一個

T

4

時刻放出的帶電粒子剛好能從小孔Q中射出，加速和減速分別經(jīng)歷了

1

4

T時間，到達Q孔的速度恰好為零．根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合求解M、N兩板間的距離；
（3）由題意：每一個周期的前

T

4

時間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越�。�粒子進入磁場，其中速度越小的粒子運動半徑越小，射出點離射入點越近，偏轉(zhuǎn)角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，運動半徑最大，偏轉(zhuǎn)角度最小，射出點與入射點所夾弧長最大．根據(jù)牛頓第二定律和幾何知識結(jié)合求出以最大速度射入時在磁場中的偏轉(zhuǎn)角為θ，再求最大弧長．

解答：解：（1）在M、N電場間處于一直加速的粒子從小孔Q中射出的速度最大，設(shè)從最大速度為v_m
根據(jù)動能定理得 qU=

1

2

m

v

2 m

解得：v_m=

2qU m

  
（2）設(shè)M、N兩板間距離為d，則兩板間的電場強度大小 E=

U

d

，
設(shè)粒子運動的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律得 qE=ma
解得：a=

qU

md

每一個周期的第一個

T

4

時刻放出的帶電粒子剛好能從小孔Q中射出，它加速和減速各經(jīng)歷

T

4

，
由d=

1

2

a(

T

4

)2×2
解得：d=

T

4

qU m

（3）每一個周期的前

T

4

時間內(nèi)放出的帶電粒子才能從小孔Q中射出，其中射出最早的粒子速度最大，越晚射出的粒子速度越�。�粒子進入磁場，其中速度越小者運動半徑越小，射出點離射入點越近，偏轉(zhuǎn)角度越大（越接近π）．最早射入者速度最大，運動半徑最大，偏轉(zhuǎn)角度最小，射出點與入射點所夾弧長最大．
設(shè)帶電粒子以最大速度射入時在磁場中的運動半徑為R，偏轉(zhuǎn)角為θ，由牛頓第二定律和幾何關(guān)系得
 Bqv=m

v2

R

 tan

θ

2

=

r

R

解得：θ=2arctanBr

q 2mU

設(shè)沿圓形磁場邊界上有帶電粒子射出的最大弧長為s（圖中實線部分），根據(jù)弧長公式
s=r（π-θ）=r（π-2arctanBr

q 2mU

）
答：
（1）帶電粒子從小孔Q中射出的最大速度為

2qU m

；
（2）M、N兩板間的距離為

T

4

qU m

；
（3）在沿圓形磁場的邊界上，有帶電粒子射出的最大弧長為r（π-2arctanBr

q 2mU

）．

點評：本題在正確分析粒子運動過程的基礎(chǔ)上，應用動能定理、類平拋運動的知識、牛頓運動定律即可正確解題；本題難度較大，是一道難題．