Question

如圖所示，M、N、P為很長(zhǎng)的平行邊界面，M、N與M、P間距分別為l₁、l₂，其間分別有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁和B₂的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，Ⅰ和Ⅱ磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，B₁≠B₂，有一帶正電粒子的電量為q，質(zhì)量為m，以某一初速度垂直邊界N及磁場(chǎng)方向射入MN間的磁場(chǎng)區(qū)域．不計(jì)粒子的重力．求：
（1）要使粒子能穿過(guò)Ⅰ磁場(chǎng)進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)，粒子的初速度v₀至少應(yīng)為多少？
（2）若粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度v1=

2qB1l1

m

，則粒子第一次穿過(guò)Ⅰ磁場(chǎng)的時(shí)間t₁是多少？
（3）粒子初速度v為多少時(shí)，才可恰好穿過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域．

Answer 1

分析：（1）粒子的初速度為v₀時(shí)恰好能進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)，則進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)時(shí)速度恰好沿M邊界，根據(jù)洛倫茲力提供向心力公式即可求解；
（2）先求出運(yùn)動(dòng)的半徑，再求出粒子在Ⅰ磁場(chǎng)中作勻速圓周對(duì)應(yīng)的圓心角為α，結(jié)合周期公式即可求解；
（3）設(shè)粒子速度為v時(shí)，粒子在B₂磁場(chǎng)中的軌跡恰好與P邊界相切，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，根據(jù)半徑公式結(jié)合幾何關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）粒子的初速度為v₀時(shí)恰好能進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)，則進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)時(shí)速度恰好沿M邊界，所以半徑為r=l₁，則
Bqv₀=m

v02

r

解得：
v0=

Bql1

m

（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，
Bqv1=m

v12

r1

解得：r₁=2l₁
粒子在Ⅰ磁場(chǎng)中作勻速圓周對(duì)應(yīng)的圓心角為α，
sinα=

l1

r1

=

1

2

所以：α=

π

6

所以第一次穿過(guò)Ⅰ磁場(chǎng)的時(shí)間為：t1=

θ

2π

T=

1

12

×

2πm

B1q

=

πm

6B1q

（3）設(shè)粒子速度為v時(shí)，粒子在B₂磁場(chǎng)中的軌跡恰好與P邊界相切，軌跡如圖所示，
由Bqv=m

v 2

R

可得：R1=

mv

B1q

，R2=

mv

B2q

sinθ=

l1

R1

=

qB1l1

mv

粒子在B₂中運(yùn)動(dòng)有：R₂-R₂sinθ=l₂
解得：v=

qB1l1+qB2l2

m

答：（1）要使粒子能穿過(guò)Ⅰ磁場(chǎng)進(jìn)入Ⅱ磁場(chǎng)，粒子的初速度v₀至少應(yīng)為

Bql1

m

；
（2）若粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的初速度v1=

2qB1l1

m

，則粒子第一次穿過(guò)Ⅰ磁場(chǎng)的時(shí)間t₁是

πm

6B1q

；
（3）粒子初速度v為

qB1l1+qB2l2

m

時(shí)，才可恰好穿過(guò)兩個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要求同學(xué)們能畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．