Question

12．如圖是半徑為R的某透明材料制成的半球體，MON是它的直徑，一束垂直MON的光線從P點(diǎn)射入該半球體，在Q點(diǎn)發(fā)生折射并射出半球體，其折射角為60°，已知OP=$\frac{1}{2}$R，試求：
（1）該透明材料的折射率n；
（2）若該光線仍垂直半球體直徑MON面從P′點(diǎn)射入，最終射出半球體，已知OP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，光在真空中傳播速度為c，求光在該半球體內(nèi)傳播的總時間t．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合光路圖，由幾何關(guān)系求解出光線在Q點(diǎn)的入射角和折射角，根據(jù)折射定律求解折射率；
（2）光線從從P′點(diǎn)射入，已知OP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，可求得光線在圓弧面上的入射角，與臨界角C比較，發(fā)現(xiàn)了全反射，畫出光路圖，由幾何關(guān)系求出光在該半球體內(nèi)傳播的總路程，由v=$\frac{c}{n}$求光在半球中傳播的速度，從而求得總時間．

解答 解：（1）設(shè)光線在Q點(diǎn)的入射角和折射角分別為i和r．
則 sini=$\frac{\frac{1}{2}R}{R}$=$\frac{1}{2}$，i=30°
所以該透明材料的折射率 n=$\frac{sinr}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$
（2）設(shè)該單色光在介質(zhì)中的臨界角為C，則sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故 C＜60°
當(dāng)入射點(diǎn)距的距離 OP′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，在半球面上的入射角θ為：
   sinθ=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{R}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=60°＞C
所以入射到半球內(nèi)的光線在半球上發(fā)生全反射，此時光路如圖．
光在該半球體內(nèi)傳播的總時間 t=$\frac{2R+2Rsin30°}{\frac{c}{n}}$=$\frac{3\sqrt{3}R}{c}$
答：
（1）該透明材料的折射率n是$\sqrt{3}$．
（2）光在該半球體內(nèi)傳播的總時間t是$\frac{3\sqrt{3}R}{c}$．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵是掌握折射定律和全反射的條件，要正確作出光路圖，結(jié)合幾何關(guān)系得到入射角和光程．