Question

2．如圖所示是某游樂場的一種過山車的簡化圖，光滑的過山車軌道由傾角為θ的足夠長斜面和半徑為R的圓形軌道組成．可視為質(zhì)點(diǎn)的過山車從斜面A處由靜止開始下滑，沿著斜面運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)（B為斜面與圓形軌道的切點(diǎn)），而后沿圓形軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)． 求：
（1）若過山車剛好能通過圓形軌道的最高點(diǎn)C，過山車經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小
（2）在（1）情況下過山車過最低點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力為重力的幾倍
（3）考慮到游客的安全，要求全過程游客受到的支持力不超過自身重力的7倍，則允許過山車初始位置與B點(diǎn)的最大距離為多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出過山車經(jīng)過C點(diǎn)的速度大�。�
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出過山車到達(dá)最低點(diǎn)的速度大小，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力和重力的關(guān)系，從而得出壓力與重力的關(guān)系．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出最低點(diǎn)的速度，結(jié)合動(dòng)能定理求出釋放點(diǎn)的高度，根據(jù)幾何關(guān)系求出過山車初始位置與B點(diǎn)的最大距離．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得，mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{C}=\sqrt{gR}$．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，$mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
根據(jù)牛頓第二定律得，N-mg=m$\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立解得N=6mg．
根據(jù)牛頓第三定律知，過山車過最低點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力為重力的6倍．
（3）在最低點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律得，$N-mg=m\frac{{v}_{D}{′}^{2}}{R}$，
解得${v}_{D}{′}^{2}=\sqrt{6gR}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}$，
解得h=3R．
允許過山車初始位置與B點(diǎn)的最大距離s=$\frac{h-R（1-cosθ）}{sinθ}=\frac{3R-R（1-cosθ）}{sinθ}$=$\frac{2R+Rcosθ}{sinθ}$．
答：（1）過山車經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）在（1）情況下過山車過最低點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力為重力的6倍；
（3）允許過山車初始位置與B點(diǎn)的最大距離為$\frac{2R+Rcosθ}{sinθ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理、牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律和動(dòng)能定理綜合求解，難度中等．