Question

2．如圖所示傾角為θ=30°的平行金屬軌道固定在水平面上，導(dǎo)軌的頂端接有定值電阻R，長(zhǎng)度與導(dǎo)軌寬度相等的導(dǎo)體棒AB垂直于導(dǎo)軌放置，且保持與導(dǎo)軌由良好的接觸．圖中虛線(xiàn)1和2之間有垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)給導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上的初速度，使導(dǎo)體棒穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域后能繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)到最高位置虛線(xiàn)3，然后沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)到底端．已知導(dǎo)體棒向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)1和2時(shí)的速度大小之比為2：1，導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)由虛線(xiàn)2到1做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，虛線(xiàn)2、3之間的距離為虛線(xiàn)1、2之間距離的2倍，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中導(dǎo)體棒所受的摩擦阻力恒為導(dǎo)體棒重力的$\frac{1}{6}$，除定值電阻外其余部分電阻均可忽略，求：
（1）導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)2的速度v₁與沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)2的速度v₂的比值；
（2）導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)剛經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)1和剛到達(dá)虛線(xiàn)2時(shí)的加速度大小之比；
（3）導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)與沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中，定值電阻R上產(chǎn)生的熱量之比Q₁：Q₂為多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可計(jì)算出速度v₁、v₂的表達(dá)式，進(jìn)一步可求得v₁：v₂
（2）根據(jù)牛頓第二定律結(jié)合安培力的計(jì)算公式，可求出a₃、a₄的值和兩者的比值
（3）由功能關(guān)系可求出Q₁、Q2的數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)一步可求出兩者的比值

解答 解：（1）設(shè)虛線(xiàn)2、3之間的距離為x，導(dǎo)體棒由虛線(xiàn)2運(yùn)動(dòng)到虛線(xiàn)3的過(guò)程中，導(dǎo)體棒由虛線(xiàn)2運(yùn)動(dòng)到虛線(xiàn)3的過(guò)程中加速度大小為a₁、導(dǎo)體棒由虛線(xiàn)3運(yùn)動(dòng)到虛線(xiàn)2的過(guò)程中加速度大小為a₂，則由牛頓第二定律得：
mgsin30°+$\frac{1}{6}$mg=ma₁
解得：a₁=$\frac{2}{3}\\;g$g
由0-v₁²=2a₁x，可得：v₁=$\sqrt{\frac{4}{3}gx}\\;\$
mgsin30°-$\frac{1}{6}$mg=ma₂
解得：a₂=$\frac{1}{3}\\;g$g
由v₂²=2a₂x，可得v₂=$\sqrt{\frac{2}{3}gx}$
因此v₁：v₂=$\sqrt{2}$：1
（2）設(shè)導(dǎo)體棒的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)1時(shí)的速度為v₀，加速度大小為a₃，則此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E₁=BLv₀
由閉合電路歐姆定律得，回路中的電流I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}=\frac{BL{v}_{0}}{R}$
此時(shí)導(dǎo)體棒所受安培力大小為F₁=BI₁L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}$，方向沿導(dǎo)軌向下
由牛頓第二定律得：mgsin30°+$\frac{1}{6}$mg+F₁=ma₃
解得：a₃=$\frac{2}{3}\\;g+\frac{{F}_{1}}{m}$g+$\frac{{F}_{1}}{m}$
由題意可知導(dǎo)體棒由虛線(xiàn)3剛回到虛線(xiàn)2時(shí)速度大小為v₂，此時(shí)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₂=BLv₂
回路中的電流I₂=$\frac{{E}_{2}}{R}=\frac{BL{v}_{2}}{R}$
此時(shí)導(dǎo)體棒所受安培力的大小為F₂=BI₂L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$，方向沿導(dǎo)軌向上
由力的平衡條件可得：mgsin30°=$\frac{1}{6}$mg+F₂
解得：F₂=$\frac{1}{3}$mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$
又因?yàn)関₁：v₂=$\sqrt{2}$：1，由題意知v₀：v₁=2：1，可得：v₀：v₂=2$\sqrt{2}$：1
整理可得：a₃=$\frac{2+2\sqrt{2}}{3}\\;g$g
設(shè)導(dǎo)體棒剛好到達(dá)虛線(xiàn)2時(shí)的加速度為a₄，根據(jù)牛頓第二定律則有：
mgsin30°+$\frac{1}{6}$mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=ma₄
整理可得：a₄=$\frac{2+\sqrt{2}}{3}\\;g$g
解得：a₃：a₄=2$（2+2\sqrt{2}）：（2+\sqrt{2}）$
（3）設(shè)虛線(xiàn)1和虛線(xiàn)2之間的距離為d，導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上穿過(guò)此區(qū)域時(shí)，由功能關(guān)系可知：
mgsin30°d+$\frac{1}{6}$mgd+Q₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}\\;m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$mv₁²
導(dǎo)體棒由虛線(xiàn)2運(yùn)動(dòng)到虛線(xiàn)3的過(guò)程中，由功能關(guān)系可得：
$\frac{1}{2}\\;m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$mv₁²=mgsin30°2d+$\frac{1}{6}$mg2d
解得：Q₁=$\frac{10}{3}$mgd
導(dǎo)體棒由虛線(xiàn)2運(yùn)動(dòng)到虛線(xiàn)1的過(guò)程中，由功能關(guān)系可得：
Q₂=W₂=F₂d=$\frac{1}{3}\\;\\;\\;mgd$mgd
解得：Q₁：Q₂=10：1
答：（1）導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)2的速度v₁與沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)2的速度v₂的比值為$\sqrt{2}$：1
（2）導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)剛經(jīng)過(guò)虛線(xiàn)1和剛到達(dá)虛線(xiàn)2時(shí)的加速度大小之比為2$（2+2\sqrt{2}）：（2+\sqrt{2}）$
（3）導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)與沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的過(guò)程中，定值電阻R上產(chǎn)生的熱量之比Q₁：Q₂為10：1．

點(diǎn)評(píng) （1）本題考查了牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的計(jì)算、閉合電路歐姆定律、安培力的計(jì)算、能量守恒定律
（2）本題中運(yùn)動(dòng)過(guò)程較為復(fù)雜，清除每一個(gè)過(guò)程中導(dǎo)體棒的受力情況是分析的關(guān)鍵