Question

9．如圖所示，輕桿長為2L，水平轉(zhuǎn)軸O穿過桿的中點（接觸面光滑），桿兩端分別固定著小球A和B．A球質(zhì)量為m，B球質(zhì)量為2m，兩球隨桿一起在豎直平面內(nèi)繞軸O做圓周運動．（重力加速度用g表示）
（1）桿以某角速度繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動，A球在最高點時，桿的上端恰不受力，求此時轉(zhuǎn)軸O受力的大小和方向；
（3）若桿轉(zhuǎn)動的角速度逐漸變化，試問桿轉(zhuǎn)至豎直位置時，能否出現(xiàn)轉(zhuǎn)軸O不受力的情況？若能，請說明此時哪個球在上端，桿轉(zhuǎn)動的角速度多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點的速度，A、B兩球由于半徑相等，角速度相等，可知線速度大小相等．再根據(jù)牛頓第二定律求出桿子對B球的拉力大小，從而得出時轉(zhuǎn)軸O受力的大小和方向；
（2）因為B的質(zhì)量大于A的質(zhì)量，只有B球在最高點時，且做圓周運動出現(xiàn)O軸不受力，此時桿子對A、B兩球均表現(xiàn)為拉力，根據(jù)拉力相等求出A、B的速度．

解答 解：（1）A在最高點時，桿的上端恰不受力，根據(jù)牛頓第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，解得${v}_{1}=\sqrt{gL}$，
A、B的線速度大小相等，對B分析，根據(jù)牛頓第二定律得，${F}_{B}-2mg=2m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，解得F_B=4mg，
則轉(zhuǎn)軸O受到的力方向豎直向下，大小為4mg．
（2）要使O軸不受力，根據(jù)B的質(zhì)量大于A的質(zhì)量，可判斷B球應(yīng)在最高點．
對B有：T_OB+2mg=2mLω²，
對A有：T_OA-mg=mLω²，
軸O不受力時，T_OA=T_OB，可得：ω=$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．
答：（1）此時轉(zhuǎn)軸O受力的大小為4mg，方向豎直向下．
（2）能出現(xiàn)轉(zhuǎn)軸O不受力的情況，此時B球在上端，桿轉(zhuǎn)到的角速度為$\sqrt{\frac{3g}{L}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運動向心力的來源，再運用牛頓第二定律進行求解．