Question

6．圖1是模擬的滑板組合滑行軌道，該軌道由足夠長的斜直軌道、半徑R₁=1m的凹形圓弧軌道和半徑R₂=1.6m的凸形圓弧軌道組成，這三部分軌道處于同一豎直平面內(nèi)且依次平滑連接，其中M點(diǎn)為凹形圓弧軌道的最低點(diǎn)，N點(diǎn)為凸形圓弧軌道的最高點(diǎn)，凸形圓弧軌道的圓心O點(diǎn)與M點(diǎn)處在同一水平面上，一質(zhì)量為m=1kg可看作質(zhì)點(diǎn)的滑板，從斜直軌道上的P點(diǎn)無初速滑下，經(jīng)過M點(diǎn)滑向N點(diǎn)，P點(diǎn)距M點(diǎn)所在水平面的高度h=1.8m，不計(jì)一切阻力，g取10m/s²．

（1）滑板滑到M點(diǎn)時(shí)的速度多大？
（2）滑板滑到M點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)滑板的支持力多大？
（3）改變滑板無初速下滑時(shí)距M點(diǎn)所在水平面的高度h，用壓力傳感器測出滑板滑至N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小F_N，試通過計(jì)算在方格紙上作出F_N-h圖象．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小車從P到M過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解；
（2）在M點(diǎn)，小車受到的重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解；
（3）對(duì)從P到N過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，同時(shí)對(duì)小車在N點(diǎn)時(shí)重力和支持力的合力提供向心力列式，聯(lián)立方程組得到支持力的表達(dá)式，同時(shí)作出圖象．

解答 解：（1）以地面為參考平面，對(duì)小車從P到M過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，得到：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{M}^{2}$
解得：
${v}_{M}=\sqrt{2gh}$=6m/s
即滑板滑到M點(diǎn)時(shí)的速度為6m/s．
（2）在M點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，有
F_N-mg=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
 解得
F_N=mg+$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$=46N
即滑板滑到M點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)滑板的支持力為46N．
（3）在N點(diǎn)，重力和支持力的合力提供向心力，由向心力公式和牛頓第二定律，得到
 $mg-N=m\frac{v^2}{R_2}$
對(duì)從P到N過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，得到
$mg（h-{R_2}）=\frac{1}{2}m{v^2}$
解得
$N=mg-\frac{2}{R_2}mg（h-{R_2}）$
代入數(shù)據(jù)得：$N=30-\frac{25}{2}h$
N=0時(shí)，h=2.4m，能到達(dá)N點(diǎn)的最小高度h為1.6m
故壓力傳感器測出滑板滑至N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為$N=30-\frac{25}{2}h$，圖象如下圖

答：（1）滑板滑到M點(diǎn)時(shí)的速度是6m/s；
（2）滑板滑到M點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)滑板的支持力是46N；
（3）如圖．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是對(duì)從P到M或P到N過程運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式，同時(shí)根據(jù)支持力和重力的合力提供向心力列式求解．