(2011?黃浦區(qū)一模)如圖(a)所示,兩根足夠長的光滑平行金屬導軌相距為l,導軌平面與水平面成θ角,下端通過導線連接的電阻為R.質(zhì)量為m、阻值為r的金屬棒ab放在兩導軌上,棒與導軌垂直并始終保持良好接觸,整個裝置處于垂直導軌平面向上的磁場中.
(1)若金屬棒距導軌下端距離為d,磁場隨時間變化的規(guī)律如圖(b)所示,為保持金屬棒靜止,求加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時間變化的關(guān)系.
(2)若所加磁場的磁感應(yīng)強度大小恒為B′,通過額定功率Pm的小電動機對金屬棒施加沿斜面向上的牽引力,使其從靜止開始沿導軌做勻加速直線運動,經(jīng)過時間t1電動機達到額定功率,此后電動機功率保持不變.金屬棒運動的v-t圖象如圖(c)所示.求磁感應(yīng)強度B′的大小.
(3)若金屬棒處在某磁感應(yīng)強度大小恒定的磁場中,運動達到穩(wěn)定后的速度為v,在D位置(未標出)處突然撤去拉力,經(jīng)過時間t2棒到達最高點,然后沿軌道返回,在達到D位置前已經(jīng)做勻速運動,其速度大小為
15
v
,求棒在撤去拉力后所能上升的最大高度.
分析:(1)為保持金屬棒靜止,金屬棒受力必須平衡,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式推導出金屬棒所受的安培力,根據(jù)平衡條件列式,可求出外力隨時間變化的關(guān)系.
(2)由圖c看出,金屬棒運動的最大速度為v0,此時金屬棒做勻速運動,合力為零.由 Pm=F2?vm 求出拉力,根據(jù)平衡條件列式,即可求得磁感應(yīng)強度B′的大。
(3)金屬棒先上滑后下滑,對于上滑的過程,根據(jù)牛頓第二定律得到加速度的表達式,采用微元法,得到速度變化量△v與時間△t的表達式,再對△v求和,得到最大距離s與v的關(guān)系式,再對下滑過程研究,勻速運動時合力為零,列式得出v的表達式,聯(lián)立可求出最大高度.
解答:解:(1)金屬棒沿斜面方向受力平衡,外力應(yīng)沿斜面向上,設(shè)其大小為F1,則  
   F1-mgsinθ-B1Il=0
由圖(b)可知,磁感應(yīng)強度B的大小與t關(guān)系為B1=2t
回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢  E=
△?
△t
=
△B?S
△t
,S=l?d,
此時回路中的感應(yīng)電流  I=
E
R+r

得 F1=mgsinθ+B1
2?l?d
R+r
l=mgsinθ+4
l2d
R+r
t

(2)由圖(c)可知,金屬棒運動的最大速度為v0,此時金屬棒所受合力為零.
設(shè)金屬棒此時所受拉力大小為F2,流過棒中的電流為Im,則  F2-mgsinθ-BIml=0
 Em=B?lv0
 Pm=F2?vm   
得 
Pm
v0
-mgsinθ-B
Blv0
R+r
l=0

解得  B=
1
l
(
Pm
v
2
0
-
mgsinθ
v0
)(R+r)

(3)設(shè)磁感應(yīng)強度為B,棒沿斜面向上運動時,mgsinθ+BIl=ma得
  a=gsinθ+
B2l2vt
m(R+r)

取極短時間△t,速度微小變化為△v,△v=a△t,△s=v△t
△v=gsinθ△t+
B2l2v△t
m(R+r)

在上升的全過程中,∑△v=gsinθ∑△t+
B2l2∑△s
m(R+r)

0-v=-[t2gsinθ+
B2l2s
m(R+r)
]

又下滑到勻速時有  mgsinθ-
B2l2v
5(R+r)
=0

由上兩式得s=
v2
5gsinθ
-
vt2
5

上升的高度H=s?sinθ=
v2-vgt2sinθ
5g

答:
(1)加在金屬棒中央、沿斜面方向的外力隨時間變化的關(guān)系是F1=mgsinθ+4
l2d
R+r
t
;
(2)磁感應(yīng)強度B′的大小為
1
l
(
Pm
v
2
0
-
mgsinθ
v0
)(R+r)
;
(3)棒在撤去拉力后所能上升的最大高度是
v2-vgt2sinθ
5g
點評:本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)現(xiàn)象,通過分析過程,尋找每個過程遵守的物理規(guī)律是關(guān)鍵.要會運用積分法求解非勻變速運動的速度變化量,其切入口是牛頓第二定律和加速度的定義式.
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