Question

2．動量守恒定律是一個(gè)獨(dú)立的實(shí)驗(yàn)定律，它適用于目前為止物理學(xué)研究的一切領(lǐng)域．運(yùn)用動量守恒定律解決二維問題時(shí)，可以在相互垂直的x、y兩個(gè)方向上分別研究．
（1）如圖1所示，質(zhì)量分別為m₁、m₂的球1和球2構(gòu)成的系統(tǒng)，不考慮系統(tǒng)的外力作用．球1以速度v₁（方向沿x軸正向）與靜止的球2碰撞，若速度v₁不在兩球球心的連線上，碰撞之后兩球的速度v₁′、v₂′都會偏離v₁的方向，偏角分別為θ和φ，且v₁、m₁、m₂、θ、φ均已知．
a．請寫出計(jì)算v₁′、v₂′的大小時(shí)主要依據(jù)的關(guān)系式；
b．請分析說明球1對球2的平均作用力F的方向．
（2）如圖2所示，美國物理學(xué)家康普頓及其團(tuán)隊(duì)將X射線入射到石墨上，發(fā)現(xiàn)被石墨散射的X射線中除了有與入射波長相同的成分外，還有與入射波長不同的成分．我國物理學(xué)家吳有訓(xùn)在此項(xiàng)研究中也做出了突出貢獻(xiàn)，因此物理學(xué)界也把這一效應(yīng)稱為“康普頓-吳效應(yīng)”．由于這一現(xiàn)象很難用經(jīng)典電磁理論解釋，所以康普頓提出光子不僅有能量，也具有動量，光子的動量p與其對應(yīng)的波長λ之間的關(guān)系為p=$\frac{h}{λ}$（h為普朗克常量）．進(jìn)一步研究表明X射線的散射實(shí)質(zhì)是單個(gè)光子與單個(gè)電子發(fā)生碰撞的結(jié)果．由于電子的速度遠(yuǎn)小于光的速度，可認(rèn)為電子在碰撞前是靜止的．現(xiàn)探測到散射X射線的波長不同于入射X射線的波長，請你構(gòu)建一個(gè)合理的相互作用模型，解決以下問題：
a．請定型分析散射后X射線的波長λ′與入射X射線的波長λ的大小關(guān)系；
b．若已知入射X射線的波長為λ，散射后X射線的波長為λ′．設(shè)散射X射線相對入射方向的偏轉(zhuǎn)角為θ．求θ=$\frac{π}{2}$時(shí)電子獲得的動量．

Answer 1

分析 （1）a、兩球碰撞過程遵守動量守恒定律，運(yùn)用動量守恒定律對x軸和y軸兩個(gè)方向分別列式即可．
b、對球2，運(yùn)用動量定理列式，可分析球1對球2的平均作用力F的方向．
（2）a、入射X射線的光子能量 E=h$\frac{c}{λ}$，散射后X射線的光子能量 E′=h$\frac{c}{λ′}$，根據(jù)碰撞中能量的轉(zhuǎn)化情況，分析E與E′的大小，從而得到λ′與λ的大小關(guān)系．
b、對對x軸和y軸兩個(gè)方向分別運(yùn)用動量守恒定律列式，聯(lián)立求解電子獲得的動量．

解答 解：（1）a、以碰撞后x軸、y軸為正方向，分別列出兩軸的動量守恒表達(dá)式：
x軸：m₁v₁=m₁v₁′cosθ+m₂v₂′cosφ
y軸：m₂v₂′sinφ-m₁v₁′sinθ=0
b、對球2，根據(jù)動量定理得：F△t=m₂v₂′-0
可知，F(xiàn)的方向與v₂′相同，與水平方向夾角為φ．
（2）a、依題意，建立如（1）中的碰撞模型．
入射X射線的光子能量 E=h$\frac{c}{λ}$，散射后X射線的光子能量為：E′=h$\frac{c}{λ′}$．
設(shè)碰撞后電子的動能為E_e，碰撞中可能存在的能量損失為△E_損．
根據(jù)能量守恒定律得：E=E′+E_e+△E_損．
可知，E＞E′，即h$\frac{c}{λ}$＞h$\frac{c}{λ′}$．
所以 λ＜λ′
b、設(shè)散射后電子獲得的動量為p_e，方向與X射線入射方向夾角為φ，由（1）結(jié)論可知，
入射方向有：$\frac{h}{λ}$=p_ecosφ+$\frac{h}{λ′}$cosθ
垂直方向有：0=p_esinφ-$\frac{h}{λ′}$sinθ
代入θ=$\frac{π}{2}$解得 p_e=h$\sqrt{\frac{1}{{λ}^{2}}+\frac{1}{λ{(lán)′}^{2}}}$
答：（1）a、v₁′、v₂′的大小時(shí)主要依據(jù)的關(guān)系式為：x軸：m₁v₁=m₁v₁′cosθ+m₂v₂′cosφ．y軸：m₂v₂′sinφ-m₁v₁′sinθ=0．
b、球1對球2的平均作用力F的方向與v₂′相同，與水平方向夾角為φ．
（2）a、散射后X射線的波長λ′與入射X射線的波長λ的大小關(guān)系是：λ＜λ′．
b、θ=$\frac{π}{2}$時(shí)電子獲得的動量是h$\sqrt{\frac{1}{{λ}^{2}}+\frac{1}{λ{(lán)′}^{2}}}$．

點(diǎn)評 本題是斜碰問題，要善于建立坐標(biāo)系，分方向運(yùn)用動量守恒定律列方程，要掌握物質(zhì)波波長公式λ=$\frac{h}{p}$．