Question

18．乒乓發(fā)球機(jī)的簡(jiǎn)化模型示意圖如圖所示．發(fā)球機(jī)的機(jī)頭相當(dāng)于一個(gè)長(zhǎng)l=20cm 的空心圓柱（內(nèi)徑比乒乓球的直徑略大），水平固定在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)上方H=45cm處，可繞C軸在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，從而改變球的落點(diǎn)．球臺(tái)長(zhǎng)為L(zhǎng)=3m，位于球臺(tái)中央的球網(wǎng)高h(yuǎn)=25cm，出球口離盛球容器底部的高度H₀=50cm，不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)、空氣阻力和發(fā)球機(jī)軌道對(duì)球的阻力．已知一只乒乓球的質(zhì)量約3g，（取重力加速度g=10m/s²）

（1）若發(fā)球機(jī)的機(jī)頭不轉(zhuǎn)動(dòng)，且出球點(diǎn)在O點(diǎn)正上方，當(dāng)發(fā)球機(jī)發(fā)出的球能過(guò)網(wǎng)且落在球臺(tái)上，求發(fā)球機(jī)出球的速度大小范圍；
（2）若發(fā)球機(jī)機(jī)頭以ω=5rad/s按俯視圖所示方向轉(zhuǎn)動(dòng)，且出球時(shí)乒乓球相對(duì)機(jī)頭的速度為9m/s．求出球點(diǎn)轉(zhuǎn)到O點(diǎn)正上方時(shí)所發(fā)出球的最后落點(diǎn)位置，結(jié)果用xoy坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值表示；
（3）在題（2）問(wèn)情景下，若發(fā)球機(jī)每分鐘發(fā)出30只球，求發(fā)球機(jī)因發(fā)球而消耗的平均功率．

Answer 1

分析 （1）乒乓球做平拋運(yùn)動(dòng)，抓住兩個(gè)臨界狀態(tài)，即球剛好過(guò)網(wǎng)和球剛好不出界，結(jié)合高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)水平位移和時(shí)間求出最小初速度和最大初速度，從而得出初速度的大小范圍．
（2）根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，將小球出來(lái)時(shí)的速度沿x和y方向分解，結(jié)合兩個(gè)分速度求出兩個(gè)分位移，從而確定球落點(diǎn)的位置坐標(biāo)．
（3）根據(jù)功能關(guān)系得出一個(gè)乒乓球獲得的機(jī)械能，從而得出所做的功，結(jié)合平均功率公式求出發(fā)球機(jī)因發(fā)球而消耗的平均功率．

解答 解：（1）根據(jù)H-h=$\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$得：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{2（H-h）}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×（0.45-0.25）}{10}}s=0.2s$，
則發(fā)球機(jī)出球的最小速度為：
${v}_{1}=\frac{\frac{L}{2}}{{t}_{1}}=\frac{\frac{3}{2}}{0.2}m/s=7.5m/s$，
根據(jù)$H=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$得：${t}_{2}=\sqrt{\frac{2H}{g}}=\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}s=0.3s$，
則發(fā)球機(jī)出球的最大速度為：${v}_{2}=\frac{L}{{t}_{2}}=\frac{3}{0.3}m/s=10m/s$．
發(fā)球機(jī)出球的速度大小范圍為：7.5m/s＜v＜10m/s．
（2）機(jī)頭轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為：v₃=lω=0.2×5m/s=1m/s，
根據(jù)平行四邊形定則知，球出后的速度為：$v=\sqrt{{{v}_{3}}^{2}+{{v}_{4}}^{2}}=\sqrt{1+81}m/s=\sqrt{82}$m/s，
球出后做平拋運(yùn)動(dòng)，在xoy坐標(biāo)系中，縱坐標(biāo)為：y=v₃t₂=1×0.3m=0.3m，橫坐標(biāo)為：x=v₄t₂=9×0.3m=2.7m．
最后落點(diǎn)位置坐標(biāo)為（0.3m，2.7m）．
（3）每個(gè)乒乓球的機(jī)械能為：E=$mg{H}_{0}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$3×1{0}^{-3}×10×0.5+\frac{1}{2}×3×1{0}^{-3}×82$J=0.138J，
發(fā)球機(jī)因發(fā)球而消耗的平均功率為：P=$\frac{W}{t}=\frac{30E}{t}=\frac{0.138×30}{60}W=0.069W$．
答：（1）發(fā)球機(jī)出球的速度大小范圍為7.5m/s＜v＜10m/s．
（2）最后落點(diǎn)位置坐標(biāo)為（0.3m，2.7m）．
（3）發(fā)球機(jī)因發(fā)球而消耗的平均功率為0.069W．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)在實(shí)際生活中的運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解．