Question

14．如圖所示，用同種材料制成的一個(gè)軌道ABC，其中AB段為四分之一圓�。�在B點(diǎn)和水平段BC相切，圓弧半徑為R．小物塊和軌道間摩擦因數(shù)為μ，小物塊從軌道頂端A由靜止開(kāi)始恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)靜止，且BC距離也為R，則摩擦系數(shù)μ的取值應(yīng)有（　�。�

• A． 0＜μ＜0.25
• B． 0.25＜μ＜0.5
• C． 0.5＜μ＜0.75
• D． 0.75＜μ＜1

Answer 1

分析 該題只需要大體確定動(dòng)摩擦因數(shù)的范圍，可以分別由可能的情況分析極大值的情況與極小值的情況，然后大體確定范圍即可．

解答 解：將AB段的運(yùn)動(dòng)若分解成一段段的小的斜面，設(shè)其中任意一段時(shí)，對(duì)應(yīng)的斜面的傾角為θ，則摩擦力：
f=μF_N  ①
當(dāng)物塊沿斜面滑下很一小段L后，摩擦力做的功：
W=fL   ②
小物塊沿水平方向的位移：
x=Lcosθ   ③
由題可知，物塊從A到B的過(guò)程中做曲線運(yùn)動(dòng)，合外力的方向指向圓心的方向，所以在傾角為θ的位置：
F_N=mgcosθ+F_n   ④
其中：F_n是向心力．
聯(lián)立可得，在對(duì)應(yīng)的斜面的傾角為θ的該段摩擦力做的功：
W=$μ（mgcosθ+{F}_{n}）•\frac{x}{cosθ}$=$μmgx+\frac{μ{F}_{n}}{cosθ}•x$  ⑤
討論：
Ⅰ、若小物塊運(yùn)動(dòng)的速度足夠慢，則小物塊需要的向心力近似等于0，這種情況下，由于向心力的增大使得摩擦力對(duì)物塊做的功就可以忽略不計(jì)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的摩擦力最小，此時(shí)對(duì)在AB段摩擦力做的功進(jìn)行積分可得：W_min=μmgR 
在BC段摩擦力做的功：W_BC=μmgR  ⑥
根據(jù)功能關(guān)系可得：mgR=W_min+W_BC⑦
所以：μ=0.5
考慮到在AB段曲線運(yùn)動(dòng)就一定要存在向心力所以：μ＜0.5
Ⅱ、若動(dòng)摩擦因數(shù)比較小，則物塊運(yùn)動(dòng)的速度就可能比較大，取一種極限：若在AB段的摩擦力等于0，則運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度v：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgR$
在B點(diǎn)：${F}_{Nmax}-mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$  ⑧
聯(lián)立可得：F_Nmax=3mg
由于摩擦力的存在，到達(dá)B點(diǎn)的速度小于v，所以在B點(diǎn)物塊受到的支持力小于3mg．
假設(shè)在AB段小物塊受到的支持力的情況都與B點(diǎn)相似，根據(jù)積分的結(jié)果，則在AB段摩擦力做的功：
W_max＜3μmgR  ⑨
聯(lián)立⑥⑦⑨可得：μ＞0.25
聯(lián)立以上的分析可知，0.25＜μ＜0.5．故B正確，ACD錯(cuò)誤
故選：B

點(diǎn)評(píng) 該題考查曲線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中的功能關(guān)系，以上屬于正規(guī)的解答，解答的過(guò)程相對(duì)有點(diǎn)復(fù)雜．
但如果對(duì)應(yīng)程度比較好的同學(xué)，解答的過(guò)程也可以這樣：
若AB段為斜面，則根據(jù)斜面上摩擦力做功的特點(diǎn)可知：W_AB=W_BC=μmgR，則μ=0.5
根據(jù)豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)可知，在光滑的軌道上從A點(diǎn)滑動(dòng)到B點(diǎn)的小物塊在最低點(diǎn)B受到的支持力是3mg，所以摩擦力做功的極大值不可能達(dá)到：W_max=3μmgR
即W_max＜3μmgR；所以μ＞0.25．