Question

如圖所示，在xoy平面內(nèi)y軸與MN邊界之間有沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，y軸左側(cè)和MN邊界右側(cè)的空間有垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN邊界與y軸平行且間距保持不變．一質(zhì)量為m、電荷量為-q的粒子以速度v₀從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸負(fù)方向射入磁場(chǎng)，每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間均為t₀，粒子重力不計(jì)．
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B．
（2）若t=5t₀時(shí)粒子回到原點(diǎn)O，求電場(chǎng)區(qū)域的寬度d和此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度E₀．
（3）若帶電粒子能夠回到原點(diǎn)0，則電場(chǎng)強(qiáng)度E應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=

2πm

qB

…①
粒子每次經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)時(shí)間為半個(gè)周期：t₀=

T

2

…②
由①②解得：B=

πm

qt0

（2）粒子t=5t₀回到原點(diǎn)，軌跡如圖，由幾何關(guān)系知r₁=r₂
根據(jù)：qv₀B=

m v 20

r1

qBv2=m

v 22

r2

電場(chǎng)寬度：d=

v0+v2

2

t0
解得：d=

3v0

2

t0
又v₂=v0+

qE0

m

t0
解得：E0=

mv0

qt0

（3）如圖所示，由幾何關(guān)系知，要使粒子經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，應(yīng)滿足
n（2r

′2

-2r₁）=2r₁，n=1，2，3，…
由：qBv′₂=

mv ′22

r′2

解得：v′2=

n+1

n

v0
根據(jù)動(dòng)能定理知：
Eqd=

1

2

m

v

′22

-

1

2

m

v

20

解得：E=

(2n+1)mv0

3n2qt0

（n=1，2，3，…）
答：（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

πm

qt0

；
（2）若t=5t₀時(shí)粒子回到原點(diǎn)O，電場(chǎng)區(qū)域的寬度d=

3v0

2

t0，此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度E0=

mv0

qt0

；
（3）若帶電粒子能夠回到原點(diǎn)0，則電場(chǎng)強(qiáng)度為

(2n+1)mv0

3n2qt0

（n=1，2，3，…）．