Question

（2013?淮安模擬）如圖所示，兩根等高光滑的

1

4

圓弧軌道，半徑為r、間距為L，軌道電阻不計(jì)．在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個(gè)裝置處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．現(xiàn)有一根長度稍大于L、質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的金屬棒從軌道的頂端ab處由靜止開始下滑，到達(dá)軌道底端cd時(shí)受到軌道的支持力為2mg．整個(gè)過程中金屬棒與導(dǎo)軌電接觸良好，求：
（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小和通過電阻R的電流．
（2）棒從ab下滑到cd過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱和通過R的電荷量．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則在到達(dá)ab的過程中拉力做的功為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒滑到道底端MN時(shí)，由重力和軌道的支持力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)棒的速度．由E=BLv、I=

E

R

求解通過R的電流；
（2）棒下滑的過程中，其重力勢能轉(zhuǎn)化為棒的動(dòng)能和電路中內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解金屬棒產(chǎn)生的熱量．由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和電量公式q=

.

I

△t求通過R的電荷量q．
（3）若棒從cd開始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其水平方向的分運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，棒中將產(chǎn)生正弦式電流．將棒的瞬時(shí)速度v₀分解，水平方向的分速度對產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢有貢獻(xiàn)，求出電流的有效值，即可救出棒中產(chǎn)生的熱量，再根據(jù)功能關(guān)系求拉力做功．

解答：解：（1）到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)棒的速度為v，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為E，感應(yīng)電流為I，則
   2mg-mg=m

v2

r

金屬棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢  E=BLv
感應(yīng)電流 I=

E

R

解得  v=

gr

，I=

BL gr

R

（2）設(shè)產(chǎn)生的焦耳熱為Q，由能量守恒定律有Q=mgr-

1

2

mv2
解得  Q=

1

2

mgr
設(shè)產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢為

.

E

，平均感應(yīng)電流為

.

I

，通過R的電荷量為q，則
 

.

E

=

△?

△t

 

.

I

=

. E

R

q=

.

I

?△t
解得  q=

BrL

R

（3）金屬棒在運(yùn)動(dòng)過程中水平方向的分速度  vx=v0cos(

v0

r

t)
金屬棒切割磁感線產(chǎn)生正弦交變電流的有效值  I=

BLv0

2 R

在四分之一周期內(nèi)產(chǎn)生的熱量  Q=I2R?

πr

2v0

設(shè)拉力做的功為W_F，由功能關(guān)系有  W_F-mgr=Q
解得  WF=mgr+

πrB2L2v0

4R

答：
（1）棒到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度大小是

gr

，通過電阻R的電流是I=

BL gr

R

．
（2）棒從ab下滑到cd過程中回路中產(chǎn)生的焦耳熱是

1

2

mgr，通過R的電荷量為

BrL

R

．
（3）若棒在拉力作用下，從cd開始以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)ab的過程中拉力做的功為mgr+

πrB2L2v0

4R

．

點(diǎn)評：本題中金屬棒做圓周運(yùn)動(dòng)，分析向心力的來源，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出速度，分析能量如何轉(zhuǎn)化，再運(yùn)用能量守恒定律求內(nèi)能．關(guān)鍵要懂得棒做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，水平方向的分運(yùn)動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng)，將產(chǎn)生正弦式電流，要用有效值求熱量．