Question

（2013?浦東新區(qū)一模）如圖所示，一個(gè)輕質(zhì)直角形薄板ABC，AB=0.80m，AC=0.60m，在A點(diǎn)固定一垂直于薄板平面的光滑轉(zhuǎn)動(dòng)軸，在薄板上D點(diǎn)固定一個(gè)質(zhì)量為m=0.40kg的小球，現(xiàn)用測力計(jì)豎直向上拉住B點(diǎn)，使AB水平，如圖（a），測得拉力F₁=2.0N；再用測力計(jì)豎直向上拉住C點(diǎn)，使AC水平，如圖（b），測得拉力F₂=2.0N（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）小球和轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離AD；
（2）在如圖（a）情況下，將小球移動(dòng)到BC邊上距離A點(diǎn)最近處，然后撤去力F₁，薄板轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，AB邊能轉(zhuǎn)過的最大角度；
（3）在第（2）問條件下，薄板轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，B點(diǎn)能達(dá)到的最大速度v_B．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)力矩平衡條件列式得到D點(diǎn)與AC邊和AB邊的間距，然后根據(jù)勾股定理求解AD間距；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律并結(jié)合對(duì)稱性分析求解即可；
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解出D點(diǎn)速度，求解出加速度，然后根據(jù)線速度和角速度、半徑的關(guān)系式列式求解B點(diǎn)速度．

解答：解：（1）設(shè)小球D距AC為x，距AB為y．

AB邊水平時(shí)，根據(jù)力矩平衡得：

mg?x=F1× . AB x= F1 mg × . AB = 2.0 4.0 ×0.80m=0.40m

AC邊水平時(shí)，根據(jù)力矩平衡得：

mg?y=F2× . AC y= F2 mg × . AC = 2.0 4.0 ×0.60m=0.30m

所以  

.

AD

=

x2+y2

=

0.402+0.302

m=0.50m
（2）設(shè)AD連線與AC邊的夾角為θ，由幾何關(guān)系可知θ=37°．根據(jù)機(jī)械能守恒定律得AD邊轉(zhuǎn)過的最大角度是2θ，所以AB邊轉(zhuǎn)過的最大角度是2θ=74°． 
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律，小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，重力勢能最小，動(dòng)能最大

1 2 m v 2 D =mg× . AD′ (1-cos37°) vD= 2g× . AD′ (1-cos37°) = 2×10×0.48×(1-0.8) m/s≈1.39m/s

在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，薄板上各點(diǎn)角速度相同，所以

vC

vD

=

. AB

. AD′

，vC=

. AB

. AD′

×vD=

0.8

0.48

×1.39m/s≈2.32m/s
答：（1）小球和轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離AD為0.5m；
（2）AB邊能轉(zhuǎn)過的最大角度為74°；
（3）在第（2）問條件下，薄板轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，B點(diǎn)能達(dá)到的最大速度為2.32m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是根據(jù)力矩平衡條件列式求解出D點(diǎn)的位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律或者動(dòng)能定理列式求解．