Question

17．如圖是離心軌道演示儀結(jié)構(gòu)示意圖．光滑弧形軌道下端與半徑為R的光滑圓軌道相接，整個(gè)軌道位于豎直平面內(nèi)．質(zhì)量為m的小球從弧形軌道上的A點(diǎn)由靜止滑下，進(jìn)入圓軌道后沿圓軌道運(yùn)動(dòng)，最后離開圓軌道．小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，對軌道的壓力恰好與它所受到的重力大小相等．重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度的大小；
（2）小球開始下滑的初始位置A點(diǎn)距水平面的豎直高度h．
（3）現(xiàn)改變小球由靜止釋放的高度，當(dāng)新的高度h′為多少時(shí)小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律可以求出小球通過最高點(diǎn)的速度．
（2）應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出A點(diǎn)的高度h．
（3）小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出最高點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求h′．

解答 解：（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律得：
  N+mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
且N=mg
解得：v=$\sqrt{2gR}$；
（2）小球從A運(yùn)動(dòng)到圓軌道最高點(diǎn)過程中，由動(dòng)能定理得：
  mg（h-2R）=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：h=3R；
（3）小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)，由重力提供向心力，則 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
可得 v₀=$\sqrt{gR}$
根據(jù)動(dòng)能定理得：
   mg（h′-2R）=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
解得 h′=2.5R
答：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)速度的大小為$\sqrt{2gR}$；
（2）小球開始下滑的初始位置A點(diǎn)距水平面的豎直高度h為3R．
（3）當(dāng)新的高度h′為2.5R時(shí)小球恰能通過圓軌道的最高點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了求小球的速度、釋放點(diǎn)的高度，要分析清楚運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用牛頓第二定律與動(dòng)能定理可以正確解題．