Question

4．鑒于社會上有些司機在駕車經(jīng)過減速帶時不減速而經(jīng)常導致一些事故的產(chǎn)生，有一汽車廠家提出如下解決方案，其基本設想簡化如下：如圖（俯視圖），在汽車底部固定一個長度L₁、寬度L₂的單匝矩形純電阻金屬線圈，線圈的總電阻為R，車和線圈的總質量為m，假設汽車運動過程中所受阻力恒為f．在減速區(qū)域設置磁場如圖，若開始時，汽車以初速度v₀沖進緩沖區(qū)域的左側，緩沖區(qū)域寬為d（d＞L₁）．緩沖區(qū)域內(nèi)有方向垂直線圈平面向上、大小為B的勻強磁場，現(xiàn)控制汽車牽引力的功率，讓汽車以大小為a的恒定加速度減速駛入緩沖區(qū)域，線圈全部進入緩沖區(qū)域后，立即開始做勻速直線運動，直至完全離開緩沖區(qū)域，整個過程中，牽引力的總功為W．
（1）求線圈沖出磁場過程中，通過線圈橫截面的電量；
（2）寫出線圈進入磁場過程中，牽引力的功率隨時間變化的關系式；
（3）線圈進入磁場過程中，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）運用法拉第電磁感應定律，結合歐姆定律以及電流定義式即可求出電量q；
（2）物體做勻變速直線運動，運用牛頓第二定律結合運動學規(guī)律以及瞬時功率表達式，聯(lián)立即可；
（3）運用能量的觀點分析，焦耳定律求解勻速穿出磁場的電熱，再運用能量守恒定律，進入磁場的勻變速直線運動的規(guī)律，以及出磁場的勻速直線運動規(guī)律，聯(lián)立即可求出線圈進入磁場過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）線框沖出磁場過程中，通過線框橫截面的電量：q=$\overline{I}$△t ①
根據(jù)歐姆定律得：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$ ②
由法拉第電磁感應定律得：$\overline{E}=\\;n\frac{△Φ}{△t}$$\frac{△Φ}{△t}$ ③
聯(lián)立①②③式得：q=$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$
（2）線框進入磁場，牽引力的功率：P=Fv ④
勻變速直線運動的規(guī)律有：v=v₀-at ⑤
牛頓第二定律得：F-f-F_安=ma ⑥
安培力公式：F_安=BIL₂ ⑦
歐姆定律：I=$\frac{E}{R}$ ⑧
切割磁感線產(chǎn)生的電動勢：E=BL₂v ⑨
聯(lián)立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得：P=$\frac{{{B}^{2}{L}_{2}^{2}（{v}_{0}-at）}^{2}}{R}$+（f+ma）（v₀-at）
（3）設線框勻速穿出磁場時的速度為v₁、感應電動勢為E₁、感應電流為I₁
線框運動的整個過程中，根據(jù)能量關系有：W=$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+f（d+L₁）+Q_總 ⑩
線框出磁場過程中產(chǎn)生的熱量：Q_出=${I}_{1}^{2}$Rt⑪
歐姆定律：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$⑫
出磁場時切割磁感線產(chǎn)生的電動勢：E₁=BL₂v₁⑬
出磁場做勻速直線運動：L₁=v₁t⑭
進入磁場過程中：${v}_{0}^{2}$-${v}_{1}^{2}$=2aL₁ ⑮
能量守恒：Q_總=Q_進+Q_出 ⑯
聯(lián)立⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯式得：Q_進=W+maL₁-f（d+L₁）-$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{L}_{1}}{R}\sqrt{2a{L}_{1}{-v}_{0}^{2}}$
答：（1）線圈沖出磁場過程中，通過線圈橫截面的電量為$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$；
（2）線圈進入磁場過程中，牽引力的功率隨時間變化的關系式為P=$\frac{{{B}^{2}{L}_{2}^{2}（{v}_{0}-at）}^{2}}{R}$+（f+ma）（v₀-at）；
（3）線圈進入磁場過程中，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱為W+maL₁-f（d+L₁）-$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{L}_{1}}{R}\sqrt{2a{L}_{1}{-v}_{0}^{2}}$．

點評 本題考查導體棒切割磁場過程中的力與運動以及能量轉化的綜合運用，用牛頓運動定律分析運動性質，結合相應的運動形式選取相應的規(guī)律解決問題，其中第（3）問的能量關系也可以用動能定理去表示．