Question

（2011?浙江模擬）如圖所示，質(zhì)量為m的汽車(chē)以恒定功率P從A點(diǎn)出發(fā)，先沿著長(zhǎng)度為s₁，傾角為a的斜面運(yùn)動(dòng)到B（其受到的阻力為車(chē)重k₁倍），隨后沿著長(zhǎng)度為s₂的水平面運(yùn)動(dòng)到D（其受到的阻力為車(chē)重k₂倍）．若s₁和s₂足夠長(zhǎng)，汽車(chē)在AB、BD段最后均可達(dá)到勻速行駛．求：
（1）汽車(chē)在AB段和BD段達(dá)到勻速行駛時(shí)，其速度v₁和v₂分別為多大？耗時(shí)分別為多少？
（2）為了省油，汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)在BD段至少還需工作多久才能到達(dá)d點(diǎn)．
（3）若汽車(chē)可先沿著長(zhǎng)度為s₁的水平面運(yùn)動(dòng)（其受到的阻力為車(chē)重k₂倍），隨后沿著長(zhǎng)度為s₁，傾角為a的斜面運(yùn)動(dòng)到D′點(diǎn)（其受到的阻力為車(chē)k₁重倍）．為簡(jiǎn)單計(jì)，設(shè)k₁=k₂=k，請(qǐng)問(wèn)與原路徑相比，哪個(gè)更省時(shí)，為什么？

Answer 1

分析：（1）由功率的表達(dá)式P=FV及動(dòng)能定理可分別求出汽車(chē)在兩段勻速行駛的速度與時(shí)間；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理可求出汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)在BD段至少還需工作的時(shí)間；
（3）由汽車(chē)克服阻力做功相同，根據(jù)動(dòng)能定理可知，末速度越大的汽車(chē)工作時(shí)間越長(zhǎng)，從而由末速度來(lái)確定誰(shuí)能更省時(shí)．

解答：解：（1）在AB區(qū)間，汽車(chē)可達(dá)到勻速v₁，由力學(xué)知識(shí)可得
   v1=

P

k1mg+mgsinα

                                     
耗時(shí)t₁，由動(dòng)能定理可得：Pt1-k1mgs1-mgs1sinα=

1

2

m

v

2 1

  t1=

k1mgs1+mgs1sinα+ 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                 
在BD段：達(dá)到勻速時(shí)，同理
v2=

P

k2mg

                                             
則耗時(shí)t₂，由動(dòng)能定理可知：
Pt2-k2mgs2=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

可以求出
 t2=

k2mgs2+ 1 2 m(( P k2mg )2-( P k1mg+mgsinα )2)

P

                            
（2）因?yàn)槠��?chē)在AB區(qū)間速度已經(jīng)達(dá)到勻速，若以v₁為初速滑行汽車(chē)不能達(dá)到D點(diǎn)．
假設(shè)汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)在BD段至少還需工作t時(shí)間，才能使得汽車(chē)恰好能到達(dá)D點(diǎn)．
根據(jù)動(dòng)能定理：
0-

1

2

m

v

2 1

=Pt-k2mgs2
求出
   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                       
若汽車(chē)以v₁為初速汽車(chē)滑行能達(dá)到D點(diǎn)，則汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)在BD段工作時(shí)間為   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                                  
（3）兩個(gè)路徑中汽車(chē)克服阻力做功相同．根據(jù)動(dòng)能定理
    Pt-W阻-mgs1sinα=

1

2

mv2                              
可知汽車(chē)到達(dá)D點(diǎn)，末速度越大，汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間越長(zhǎng)．汽車(chē)沿原路徑到達(dá)D點(diǎn)，最后車(chē)速為v₂，而汽車(chē)沿新路徑到D′點(diǎn)，末速度為v₁．
   因?yàn)関₂＞v₁                    
  所以汽車(chē)沿原路徑耗時(shí)更多．
答：（1）汽車(chē)在AB段和BD段達(dá)到勻速行駛時(shí)，其速度v₁和v₂分別為

P

k1mg+mgsinα

和

P

k2mg

；耗時(shí)分別為 t1=

k1mgs1+mgs1sinα+ 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

                 
與 t2=

k2mgs2+ 1 2 m(( P k2mg )2-( P k1mg+mgsinα )2)

P

；                         
（2）為了省油，汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)在BD段至少還需工作時(shí)間為   t=

k2mgs2- 1 2 m( P k1mg+mgsinα )2

P

  才能到達(dá)d點(diǎn)．
（3）汽車(chē)沿著長(zhǎng)度為s₁的水平面運(yùn)動(dòng)（其受到的阻力為車(chē)重k₂倍），隨后沿著長(zhǎng)度為s₁，傾角為a的斜面運(yùn)動(dòng)到D′點(diǎn)（其受到的阻力為車(chē)k₁重倍），更能省時(shí)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)能定理，并體現(xiàn)動(dòng)能定理的過(guò)程重要性．同時(shí)要注意定理中的速度與位移是同一參考系，及功的正負(fù)．還要關(guān)注的是牽引力做功W=Pt．