Question

如圖所示，在光滑的水平面上停放著一輛平板車(chē)，在車(chē)上的左端放有一木塊B．車(chē)左邊緊鄰一個(gè)固定在豎直面內(nèi)、半徑為R的

1

4

圓弧形光滑軌道，已知軌道底端的切線水平，且高度與車(chē)表面相平．現(xiàn)有另一木塊A（木塊A、B均可視為質(zhì)點(diǎn)）從圓弧軌道的頂端由靜止釋放，然后滑行到車(chē)上與B發(fā)生碰撞．兩木塊碰撞后立即粘在一起在平板車(chē)上滑行，并與固定在平板車(chē)上的水平輕質(zhì)彈簧作用后被彈回，最后兩木塊剛好回到車(chē)的最左端與車(chē)保持相對(duì)靜止．已知木塊A的質(zhì)量為m，木塊B的質(zhì)量為2m，車(chē)的質(zhì)量為3m，重力加速度為g，設(shè)木塊A、B碰撞的時(shí)間極短可以忽略．求：
（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運(yùn)動(dòng)速度的大�。�
（2）木塊A、B在車(chē)上滑行的整個(gè)過(guò)程中，木塊和車(chē)組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能．
（3）彈簧在壓縮過(guò)程中所具有的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

（1）設(shè)木塊A到達(dá)圓弧底端時(shí)得速度為v₀，對(duì)木塊A沿圓弧下滑得過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有：
mgR=

1

2

mv₀²
在A、B碰撞得過(guò)程中，兩木塊組成得系統(tǒng)動(dòng)量守恒，設(shè)碰撞后的共同速度大小為v₁，則：
mv₀=（m+2m）v₁，
解得：v₁=

1

3

2gR

，
（2）A、B在車(chē)上滑行的過(guò)程中，A、B及車(chē)組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．A、B滑到車(chē)的最左端時(shí)與車(chē)具有共同的速度，設(shè)此時(shí)速度大小為v，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v，
A、B在車(chē)上滑行的整個(gè)過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：
△E=

1

2

（m+2m）v₁²-

1

2

（m+2m+3m）v²=

1

6

mgR，
（3）設(shè)當(dāng)彈簧被壓縮至最短時(shí)，木塊與車(chē)有相同的速度v₂，彈簧具有最大的彈性勢(shì)能E，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v₂，
所以有：v₂=v．
設(shè)木塊與車(chē)面摩檫力為f，在車(chē)上滑行距離為L(zhǎng)，由能量守恒，對(duì)于從A、B一起運(yùn)動(dòng)到將彈簧壓縮至最短的過(guò)程有：

1

2

（m+2m）v₁²=

1

2

（m+2m+3m）v₂²+fL+E，
對(duì)于從彈簧被壓縮至最短到木塊滑到車(chē)的左端的過(guò)程有：

1

2

（m+2m+3m）v₂²+E=

1

2

（m+2m+3m）v²+fL，
解得：E=

1

12

mgR．
答：（1）木塊A、B碰撞后的瞬間兩木塊共同運(yùn)動(dòng)速度的大小為

1

3

2gR

；
（2）木塊A、B在車(chē)上滑行的整個(gè)過(guò)程中，木塊和車(chē)組成的系統(tǒng)損失的機(jī)械能為

1

6

mgR；
（3）彈簧在壓縮過(guò)程中所具有的最大彈性勢(shì)能為

1

12

mgR．