Question

3．如圖所示，豎直放置的質量為4m，長為L的圓管頂端塞有一個質量為m的彈性圓球，球可以看成質點，球和管間的滑動摩擦力和最大靜摩擦力大小均為4mg．圓管從下端離地面距離為H處自由落下，落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等．求：
（1）圓管彈起后，圓管和圓球各做什么運動？加速度分別為多少？
（2）圓管彈起后要使得圓球不致從圓管中滑落，圓管的長度L應滿足什么條什？

Answer 1

分析 （1）由運動學公式求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度；
（2）根據v₀²=2gH求出圓管底端落地前瞬間的速度．根據牛頓第二定律分別求出管反彈后，球和管的加速度，從而得知球相對于管的加速度，以管為參考系，根據速度位移公式求出球相對于管靜止時的相對位移，即可求解；

解答 解：（1）球與管第一次碰地前瞬間速度為：${v}_{0}=\sqrt{2gH}$
碰后，管受重力及向下的摩擦力為：4mg+f=4ma_管
球受重力及向上的摩擦力為：f-mg=ma_球
其中f=4mg
所以 a_管=2g，方向向下   a_球=3g，方向向上
（2）取豎直向下的方向為正方向，取管為參照物，則球與管相對靜止前，球相對管的加速度a_相=5g，方向向上．
碰地后瞬間管的速度${v}_{管}=-\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度${v}_{球}=\sqrt{2gH}$，方向向下，
球相對于管的速度為：${v}_{粗}=2\sqrt{2gH}$，方向向下．
球相對管下滑的距離為：${s}_{粗1}=\frac{{v}_{相}^{2}}{2{s}_{相}}=\frac{（2\sqrt{2gH}）^{2}}{2×5g}=\frac{4}{5}H$L
要滿足球不滑出圓管，則有$＞\frac{4}{5}H$
答：（1）圓管彈起后，圓管向上勻減速運動，圓球向下勻加速運動，加速度分別為3g、2g
（2）圓管彈起后要使得圓球不致從圓管中滑落，圓管的長度L應滿足$L＞\frac{4}{5}H$

點評 本題的難點在于管和球的運動情況難于判斷，關鍵通過計算理清球和管的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．