Question

如圖所示，水平放置的兩平行金屬板間存在相互垂直的勻強(qiáng)磁場和勻強(qiáng)電場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，方向與紙面垂直，電場的場強(qiáng)E=2.0×10⁵V/m，方向豎直向下，PQ為板間中線．緊靠平行板右側(cè)邊緣建立平面直角坐標(biāo)系xOy，在第一象限內(nèi)，存在著以AO為理想邊界的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場區(qū)域，方向如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=B₃=0.6T，AO和y軸間的夾角θ=30°．一束帶負(fù)電的粒子，質(zhì)量不同，帶電量q=2.5×10^-8C，以v=5×10⁵m/s的水平速度從P點(diǎn)射入板間，沿PQ做直線運(yùn)動，穿出平行板區(qū)域后從y軸上坐標(biāo)為（0，0.3m）的Q點(diǎn)垂直于y軸射入磁場區(qū)域．（粒子的重力不計(jì)）
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小和方向；
（2）若粒子不能穿過AO邊界，試確定其質(zhì)量m應(yīng)滿足的條件；
（3）若m=9.0×10^-15kg，試畫出粒子從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域開始，至第3次經(jīng)過AO邊界時(shí)的軌跡圖；
（4）由（3）所給條件，求粒子從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域開始至第n次通過AO邊界時(shí)的位置到原點(diǎn)O的距離和該過程經(jīng)歷的時(shí)間．（結(jié)果可保留π）

Answer 1

分析：（1）粒子做勻速直線運(yùn)動，則受力平衡，由共點(diǎn)力的平衡可得出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）若不能穿出，則臨界值為恰好與AO相切，則由幾何關(guān)系可求出粒子轉(zhuǎn)動的最大半徑；則可求得帶電粒子質(zhì)量的范圍；
（3）由洛侖茲力充當(dāng)向心力，利用牛頓第二定律可求得粒子的半徑；由幾何關(guān)系可得了可能的軌跡圖；
（4）由幾何關(guān)系可得出粒子第n次穿過AO邊界時(shí)的長度，從而得出粒子第n次穿過的時(shí)間．

解答：解：（1）帶電粒子在板間做直線運(yùn)動，有qvB₁=qE
解得B₁=

E

v

=0.4T
方向垂直于紙面向里
（2）如圖所示，當(dāng)粒子恰好與AO邊界相切時(shí)，設(shè)其軌道半徑為R，
粒子質(zhì)量為m₀，則由幾何關(guān)系可得：R+

R

sinθ

=

.

OQ

；R=

. OQ

3

=0.1m
由牛頓第二定律得：qvB₂=m₀

v2

R

解得：m₀=

qB2R

v

=3×10^-15kg
所以m≤3×10^-15kg（或m＜3×10^-15kg）
（3）設(shè)質(zhì)量m=9.0×10^-15kg的粒子做勻速圓周運(yùn)動的半徑為r，有：qvB₂=m

v2

r

解得r=

mv

qB2

=0.3m；
即坐標(biāo)原點(diǎn)O為軌跡圓的圓心，粒子第一次通過AO的速度方向與AO垂直，故粒子運(yùn)動的軌跡如圖所示
（4）設(shè)粒子第n次通過AO邊界的點(diǎn)為A_n，則

.

AnO

=（2n-1）r=（0.6n-0.3）m  （n=1，2，3…） 
帶電粒子在磁場中運(yùn)動的周期為T=

2πm

qB2

根據(jù)運(yùn)動圓軌跡的圓心角，可得粒子第n次通過AO邊界的時(shí)間為t=

T

12

+（n-1）

1

2

T
t=（6n-5）π×10^-7s  （n=1，2，3…）
答：（1）B₁為0.4T，方向向里；
（2）若粒子不能穿過AO邊界，其質(zhì)量m應(yīng)滿足的條件m≤3×10^-15kg（或m＜3×10^-15kg）；
（3）軌跡如上圖；
（4）粒子從Q點(diǎn)進(jìn)入磁場區(qū)域開始至第n次通過AO邊界時(shí)的位置到原點(diǎn)O的距離為（0.6n-0.3）m （n=1，2，3…）
該過程經(jīng)歷的時(shí)間（6n-5）π×10^-7s （n=1，2，3…）

點(diǎn)評：本題由于要求出最后的通式，故應(yīng)注意分析其運(yùn)動過程，從而找出合理的表達(dá)式；應(yīng)充分利用好幾何關(guān)系．