Question

14．如圖所示，質(zhì)量M=0.03kg的絕緣薄板靜止于傾角θ=37°的斜面底端，擋板PN垂直于PQ，斜面與薄板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₀=0.8，質(zhì)量m=0.01kg，帶電荷量q=+2.5×10^-3C可視為質(zhì)點(diǎn)的小物塊放在薄板的最上端，薄板和物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，所在空間加有方向垂直于斜面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，現(xiàn)對(duì)薄板施加一平行于斜面向上的拉力F=0.726N．當(dāng)小物塊即將離開薄板時(shí)，立即將電場(chǎng)E方向改為豎直向上，同時(shí)在空間增加一個(gè)垂直紙面向外的足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B=6.0T，并撤去外力F，此后小物塊剛好做半徑R=1m的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相同，不考慮因空間電、磁場(chǎng)的改變而帶來的其它影響，斜面PQ和擋板PN均足夠長，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小物塊剛離開薄板時(shí)的速度大�。�
（2）薄板長度；
（3）小物塊第一次擊中擋板PN時(shí)，薄板下端距P點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 這是一個(gè)關(guān)于力學(xué)動(dòng)力學(xué)問題與電磁學(xué)內(nèi)容的綜合，同時(shí)又涉及到連接體，要用隔離法分別對(duì)物體進(jìn)行受力分析，用相應(yīng)的規(guī)律解決具體問題．
（1）由于知道物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，所以記得半徑公式$r=\frac{mv}{qB}$  （洛侖茲力提供向心力推出），很容易求出物塊離開薄板的速度．
（2）在拉力作用下，物塊和薄板均做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，只是薄板的加速度大于物塊，所以薄板的位移大，當(dāng)物塊離開時(shí)，兩者位移差就是薄板的長．
（3）物塊離開薄板，撤去拉力后，薄板向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，可以求出向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的時(shí)間和位移，由于速度減為零后，Mgsinθ＜μ₀Mgcosθ，所以停在最高點(diǎn)，則物塊擊中PN時(shí)薄板下端離P點(diǎn)的距離就是薄板勻加速直線運(yùn)動(dòng)和勻減速直線運(yùn)動(dòng)位移的和．

解答 解（1）電場(chǎng)方向改為豎直向上時(shí)，小物塊在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由此可知，電場(chǎng)力和重力平衡：
     qE=mg 
  解得：$E=\frac{mg}{q}=\frac{0.01×10}{2.5×1{0}^{-3}}V/m=40V/m$
  做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有：$qvB=\frac{mv2}{R}$
  所以$v=\frac{qBR}{m}=\frac{2.5×1{0}^{-3}×6×1}{0.01}m/s$=1.5m/s
（2）電場(chǎng)方向未改之前對(duì)小物塊由牛頓第二定律有：μ（mgcosθ+Eq）-mgsinθ=ma₁
  代入數(shù)據(jù)得：a₁=3m/s
  物塊從開始到離開薄板的時(shí)間：$t=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{1.5}{3}s=0.5s$
  對(duì)薄板由牛頓第二定律有：F-μ（mgcosθ+Eq）-μ₀（mgcosθ+Eq+Mgcosθ）=Ma₂
  代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=4m/{s}^{2}$
  當(dāng)物塊滑離薄板時(shí)有：$L=\frac{1}{2}（{a}_{2}-{a}_{1}）{t}^{2}$=$\frac{1}{2}（4-3）×0．{5}^{2}m$=0.125m
（3）物塊在時(shí)間t=0.5s內(nèi)的位移：${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}=\frac{1}{2}×3×0．{5}^{2}m=0.375m$
  物塊的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系知：$α=arcsin\frac{{s}_{1}}{R}=arcsin\frac{0.375}{1}=22°$
  物塊做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{1}=\frac{180°+α}{360°}×\frac{2×π×R}{v}=\frac{180°+22°}{360°}×\frac{2×3.14×1}{1.5}s$=2.35s  
  又因?yàn)樵趖=0.5s內(nèi)薄板薄板的位移，即薄板下端離PN的距離：s₂=L+s₁=0.5m
  薄板此時(shí)的速度：v₂=a₂t=4×0.5m/s=2m/s
  撤去外力后薄板向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度：${a}_{2}′=\frac{Mgsinθ+{μ}_{0}Mgcosθ}{M}=12.4m/{s}^{2}$  
  薄板由于慣性繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)到速度為零的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}′}=\frac{2}{12.4}s=0.16s$
  位移：${s}_{2}′=\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{2}′}=\frac{{2}^{2}}{2×12.4}m=0.16m$    
  因?yàn)橛蠱gsinθ＜μ₀Mgcosθ，所以薄板到最高點(diǎn)后停在該處．
  由于t₂＜t₁，所以物塊擊中PN時(shí)薄板已經(jīng)停在最高點(diǎn)處了，則擊中薄板時(shí)薄板下端離P點(diǎn)的距離為：s=s₂+s₂′=0.5m+0.16m=0.66m
答：（1）小物塊剛離開薄板時(shí)的速度大小為1.5m/s．
（2）薄板長度為0.125m．
（3）小物塊第一次擊中擋板PN時(shí)，薄板下端距P點(diǎn)的距離為0.66m．

點(diǎn)評(píng) 本題的靚點(diǎn)在于第三問，薄板的運(yùn)動(dòng)是先在拉力作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)后由于慣性做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度為零時(shí)停在最高點(diǎn)，而物塊在薄板做勻減速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)擊中PN，所以先要比較兩者的時(shí)間，由計(jì)算知道是薄板先停物塊后擊中，這樣擊中PN時(shí)薄板下端離P點(diǎn)的距離就是薄板兩種運(yùn)動(dòng)的位移之和．