Question

15．物塊在水平恒力F作用下，靜止開始從A點(diǎn)沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去恒力F．物塊滑上半徑為R的半圓軌道BC，從C點(diǎn)飛出后落回A點(diǎn)（設(shè)軌道光滑）．
（1）A、B兩點(diǎn)之間的距離S至少多長？
（2）為讓水平恒力F最小，A、B兩點(diǎn)之間的距離S要多長？

Answer 1

分析 （1）物體由C到A的過程做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，由分位移公式得到C點(diǎn)的速度與S的關(guān)系．對(duì)A到C的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，聯(lián)立可求得S．
（2）由上述表達(dá)式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解S的最小值．

解答 解：（1）物體C到A的過程中做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向有：
2R=$\frac{1}{2}$gt²；
得：t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
水平方向有：S=v_Ct
得：v_C=$\frac{S}{2}$$\sqrt{\frac{g}{R}}$
對(duì)A到C的過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得：
FS-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
聯(lián)立解得：S=$\frac{4（F±\sqrt{{F}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}）R}{mg}$
所以S至少為$\frac{4（F-\sqrt{{F}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}）R}{mg}$．
（2）由上題可得：F=$\frac{2mgR}{S}$+$\frac{mg}{8R}$S
根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可知：由于$\frac{2mgR}{S}$•$\frac{mg}{8R}$S=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{4}$=定值，所以當(dāng)$\frac{2mgR}{S}$=$\frac{mg}{8R}$S，即 S=4R時(shí)，F(xiàn)有最小值．
答：（1）A、B兩點(diǎn)之間的距離S至少為$\frac{4（F-\sqrt{{F}^{2}-{m}^{2}{g}^{2}}）R}{mg}$．
（2）為讓水平恒力F最小，A、B兩點(diǎn)之間的距離S要4R．

點(diǎn)評(píng) 本題要有分析物體的運(yùn)動(dòng)過程和把握解題規(guī)律的能力，根據(jù)物理規(guī)律得到解析式，再求F的最小值，這是常用的函數(shù)法，要學(xué)會(huì)運(yùn)用．